函数及其表示试题，函数及其表示方法教学设计

考证

知道了一个函数的元素，就可以求出一些简单函数的定义域和值；理解映射的概念。

在实际情况中，我们会根据不同的需要选择合适的方法来表示函数。

理解简单分段函数，并能简单应用。

学习点

第一，功能的概念

1.函数和映射的相关概念

(1)函数和映射的概念

注：判断一个对应关系是否为函数关系，要看该对应关系是否满足函数定义的核心点：“定义域内任意自变量的值都有唯一确定的函数值”。

(2)职能领域和范围

在函数y=f (x)，xA中，x称为自变量，x的值域A称为函数的定义域，x的值对应的y的值称为函数值，函数值集{f(x)|xA}称为函数的值域。

(3)功能的三个要素

函数的三个要素是定义域、值域和对应性。

(4)功能的表示

函数的表示方法有三种：解析法、列表法和形象法。

解析法：一般情况下，函数的定义域必须指明；

列表法：选取的自变量应具有代表性，能反映定义域的特征；

镜像法：注意域对镜像的影响。

2.记住结论。

(1)等式函数

如果两个函数的定义域相同，对应关系相同，那么这两个函数相等。

两个函数是否相等，取决于它们的定义域和对应关系是否相同。只有当两个函数的定义域和对应完全相同时，它们才相等。

函数的自变量习惯上用X表示，但也可以用其他字母表示，如：F (x)=2×1，G (t)=2t1，H (m)=2M1都表示等价函数。

(2)映射的数量

二、功能的三要素

1.功能域

函数域是使分辨函数有意义的独立变量的取值范围。常见基本初等函数域的要求是：

(1)分数函数中的分母不等于零。

(2)偶数根函数的开模大于等于0。

(3)一次函数和二次函数的定义域是r .

2.函数的解析表达式

(1)函数的解析表达式是表示函数的一种方式。对于不是y=f (x)的形式，可以根据题目的条件转换成这种形式。

(2)在求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是用换元法(或配点法)得到的解析式。未能指明域通常会导致错误。

3.函数的范围

函数的值域是一组函数值。熟悉以下四个常见初等函数的取值范围：

(1)线性函数y=kx b (k为常数，k0)的值域为r .

(4)y=sinx的取值范围为[1，1]。

第三，分段函数

1.分段函数的概念

如果一个函数由于对应关系不同，在其定义域的不同子集上用几个不同的公式表示，则称之为分段函数。虽然分段函数由几部分组成，但它代表一个函数。

2.记住结论。

分段函数的定义域等于每个分段函数定义域的并集，其值域等于每个分段函数值域的并集。

考试方向

试着从一个定义域中找出一个函数的定义域。

高考考查函数定义域时，通常以客观题的形式呈现，难度不大。

1.寻找函数域的三种常见测试类型及求解策略。

(1)已知函数的解析表达式：构造使解析表达式有意义的不等式(组)的解。

(2)抽象函数：

若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由a g (x) b得到.

若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为x[a，b]时g(x)的取值范围。

(3)实际问题：既要使归结函数有意义，又要考虑实际问题的要求。

2.找到功能域的注意点。

(1)不要简化解析表达式，以免改变定义域。

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商组成时，t

号“∪”连接.

【名师点睛】

1.根据“若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

2.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

考向二 求函数的值域

求函数值域的基本方法

1．观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．

2．利用常见函数的值域：

一次函数的值域为R;反比例函数的值域为{y|y≠0}；指数函数的值域为；对数函数的值域为R；正、余弦函数的值域为 [-1,1] ；正切函数的值域为R .

5．配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．

6．数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．

7．单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．

8．基本不等式法：

9．判别式法：

10．有界性法：

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.

11．导数法：

利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.

考向三 求函数的解析式

求函数解析式常用的方法

1．换元法：

已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

2．配凑法：

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

3．待定系数法：

若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

4．方程组法：

考向四 分段函数

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：

1．求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

2．求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

3．求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．

4．解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

5．求奇偶性、周期性：

利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.

【名师点睛】分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；

抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“ f”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.