线性代数知识点总结汇总图，线性代数知识点总结汇总高中

线性代数知识点总结

1行列式

行列式的概念和性质

1、逆序总数：所有逆序总数

2、行列式的定义：不同行不同列元素的乘积代数和

3、行列式性质：

即使矩阵互换，行列式的值也不会改变

两行互换了，行列式变了

提公因子式：如果行列式所在行的所有元素乘以相同的数k，则该行列式乘以数k

列分割分配：如果是行列式的行的元素都是两组数之和，则此行列式等于两个行列式的和。

如果将一行乘以k并将其添加到另一行，则矩阵公式的值不会改变。

两行成比例，行列式的值为0。

重要行列式

4、上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、次对角线行列式的值等于次对角线元素的乘积

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6、Laplace展开式：

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7，n阶范德堡行列式

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数学归纳法证明

8、对角线元素为a，其馀元素为b的行列式值：

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逐行展开

9、逐行展开定理：

任意行的各元素及其对应的代数余式之和等于行列式的值

行列式一行中各元素与另一行中相应元素的代数剩余式乘积之和等于0

行列式

10、行列式的七个公式：

|kA|=kn|A|

|AB|=|A||B|

|AT|=|A|

|A-1|=|A|-1

|A*|=|A|n-1

如果是a的特征值1、2、……n

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如果a和b相似|A|=|B|

克莱姆定律

11、克莱姆定律：

如果非齐次线性方程的系数行列式不为0，则方程是唯一的解

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如果非齐次线性方程组不能求解，或者有两个不同的解，则其系数行列式一定为0

如果齐次线性方程的系数行列式不为0，则齐次线性方程只有0解。 如果方程有非零解，则一定有D=0。

2矩阵

矩阵运算

1、矩阵乘法注意事项：

矩阵乘法要求前排后排一致

矩阵乘法不满足交换律

AB=O不能给出A=O或B=O。

2、倒排性质

T=AT BT

T=kAT

T=BTAT

|A|T=|A|

T=A

矩阵的逆

3、相反的定义：

AB=E或者BA=E成立，a可逆，b是a的逆矩阵，表示为B=A-1

注： a可逆的充要条件为|A|0

4、相反性质：

-1=1/ka-1 ( k0 ) )

-1=B- 1a-1

|A-1|=|A|-1

1=t

-1=A

5、反求：

a是抽象矩阵：根据定义或性质求解

a是数字矩阵：初等行变换

矩阵的初等变换

6、初等行转换定义：

两行互换；

一行乘以非零常数c

在一行中乘以k并添加到另一行

7、初等矩阵：对单位矩阵e进行一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵性质：

初等行变换相当于与左乘对应的初等矩阵

初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij；

Ei-1=Ei )

Eij-1=Eij

矩阵秩

9、秩定义：非零子公式的最高位数

注： r=0意味着所有元素都为0，即A=O

r=n |A|0 A可逆；

r&lt； n|A|=0A不可逆；

r=rr次数不是零，所有的r 1次数都是0。

10、等级性质：

如果a是mn次矩阵，则rmin

rr

rmin{r，r}

r=r

r=r

r=r=r=r

设a为mn次矩阵，b为ns矩阵，AB=O，则r rn

11、等级求解方法：

a是抽象矩阵：根据定义或性质求解；

a是数字矩阵。 a对于初等行转换步长类型，为r=非零的行数

伴随着行列

12、矩阵伴随性质：

AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1

*=kn-1A*

*=B*A*

|A*|=|A|n-1

*=T

*=-1=A|A|-1

*=|A| n-2A

r=n=n；

r=1=n-1；

r=0 &lt； n-1 )

分块矩阵

13、分块矩阵乘法：要求前排和后排分型相同。

14、反求分块矩阵：

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三矢量

向量的概念和运算

1、向量内积：=T=T

2、长度定义||||=

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3、正交定义：=T=T=a1b1 a2b2 … anbn=0

4、正交矩阵的定义： a为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1

线性组合和线性表示

5、线性显示的充要条件：

非零列矢量可以用1、2、…、s线性表示

)1)非齐次线性方程T=有解。

)2) r=r

6、线性表示的充分条件：

如果1，2，s与线性无关，而1，2，s，与线性有关，则可以由1，2，s线性表示。

7、线性表示的求法：

假设与1、2、…、s的线性无关，可以用其线性表示。

初等行变换

行的最简单形式：每行的前0以外的数为1，其馀元素均为0

与线性相关没有线性关系

8、线性相关注意事项：

相关=0

1、2线性相关1、2成比例

9、线性关系的充要条件：

向量群1，2，…，s的线性相关

有可以用剩下的向量线性表示的向量；

齐次方程T=0有非零解；

r&lt； s即等级小于个数

特别地，n个n维列向量1、2、n具有线性相关

r&lt； n

|1，2，…，n |=0

不可逆

10、线性关系的充分条件：

向量组必须包含零向量或比例向量

如果部分相关，则整体相关

高维相关是低维相关

少表多，多必有关联

推理： n 1个n维向量必定与线性相关

11、无线性关系的充要条件

向量群1，2，…，s的线性无关

任何向量都不能用剩下的向量线性表示；

齐次方程T=0只有零解

r=s

特别是，n个n维向量1、2、n的线性没有关系

r=n |1，2，…，n |0矩阵可逆

12、线性无关的充分条件：

与整体无关，部分无关

与低维无关，与高维无关

正交非零向量组的线性无关

特征量不同的特征向量没有关系

13、线性相关、线性相关判定

定义法律

秩：小于阶数时线性相关； 如果等于阶数，则线性无关

【专业知识的补充】

即使在矩阵的左边乘以满秩的矩阵，矩阵的秩也不变； 即使将全秩矩阵放在矩阵的右侧，矩阵的秩也不会改变。

尽管n维列向量1、2、3是线性的，但如果1、2、3可以用该线性表示，即=C的话，由于r=r，所以线性无关。

r=3 r=3 |C|0

极大无线性群和向量群的秩

14、极大线性关系组不唯一

15、向量组秩：极大无关组中的向量个数即为向量组的秩

对比：矩阵的秩：非零子公式的最高位数

注：向量组1，2，…，s的秩等于矩阵A=的秩

16、极大线性关系组求法

1，2，…，s是抽象的：定义法

1，2，…，s是数字：

初等行变换阶型矩阵

与各行最初的非零数相对应的列向量构成非常无关的组

向量空间

17、基变换公式：

如果1，2，n和1，2，n是n维向量空间v的两组基，则基变换式为=Cnn

这里，c是从基1，2，n向1，2，n的转移矩阵。

C=-1

18、坐标转换公式：

当基1，2，n和基1，2，n的坐标分别为x=T，y=T，即=x11 x22 . xnn=y11 y22 . ynn时，坐标变换式为x=这里，c是从基1，2，n向1，2，n的转移矩阵。 C=-1

方案正交化

19、方案正交化

假设1、2、3线性没有关系

正交化

设1=1

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编辑

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单位化

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四线性方程

方程的表示形式和解向量

1、解的形式：

)1)一般形式

)2)矩阵形式) Ax=b；

(3)矢量形式： A=

2、解的定义：

当=T满足方程组Ax=b，即A=b时，据说是Ax=b的一个解

解的判定和性质

3、齐次方程：

仅零解r=n

有非零解的r&lt； n

4、非齐次方程：

无解r&lt； rr=r-1

唯一解r=r=n

无限多解r=r&lt； n

5、解的性质：

如果1、2是Ax=0的解，则k11 k22是Ax=0的解

如果是Ax=0的解，是Ax=b的解，那么 是Ax=b的解

如果1、2是Ax=b的解，则1-2是Ax=0的解

设1，2，…，s为Ax=b的解，则k11 k22 … kss为

Ax=b的解

Ax=0的解

设1，2，…，s为Ax=b的s个线性依赖解，则2-1，3-1，…，s-1为Ax=0的s-1个线性依赖解。

备选方案：1-2、3-2、…、s-2

2-1，3-2，…，s-s-1

基础解系

6、基础解系定义：

1，2，…，s是Ax=0的解

1，2，…，s线性相关

Ax=0的所有解都可以用线性表示

基础解系是所有解的一个非常无关的组

注意：基础解系不是唯一的。

可以将任意n-r个不依赖线性的解作为基础解系统。

7、重要结论：

a实施mn次矩阵，b为ns次矩阵，设AB=O

b的列向量都是方程式Ax=0的解

rn

8、总结：基础解系的求法

a是抽象的：根据定义或性质收集n-r个与线性无关的解

如果a是数字： a初等行变换步长型

自由未知量分别为1、0、0； 0，1，0； 0，0，1； 代入非自由未知量得到基础解系

解开他的构造

9、齐次线性方程的一般解

设r=r，1，2，…，n-r为Ax=0的基础解系，

Ax=0的解是k11 k22 … kn-rn-r

10、非齐次线性方程的一般解

设r=r、1、2、…、n-r为Ax=0的基础解系，为Ax=b的特解时，

Ax=b的一般解是 k11 k22 … kn-rn-r

共同解和共同解

11、公众解的定义：

为方程组Ax=0的解，方程组Bx=0的解时，将称为其公共解

12、非零公共解的充要条件：

方程Ax=0和Bx=0有非零的公共解

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有非零解

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十三、重要结论

设a为mn次矩阵，则齐次方程式ATAx=0与Ax=0同解，r=r

如果设a为mn次矩阵，r=n，b为ns次矩阵，则齐次方程式ABx=0与Bx=0为同解，r=r

5特征量和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

1、特征值、特征向量定义：

设a为n次矩阵，以A=的方式存在数及非零列向量时，是指矩阵a属于特征值的特征向量。

2、特征多项式，特征方程定义：

被称为|E-A|矩阵a的特征多项式。

|E-A |=0称为矩阵a的特征方程。

注：特征方程可写成|A-E|=0

3、重要结论：

是均匀方程Ax=0非零解，A=0，即是矩阵a的特征值=0的特征值

的各行的元素和为k，则1，1，…，1，t是特征值k的特征向量。

上三角或主对角矩阵的特征值是主对角的各要素。

4、总结：特征值和特征向量求解

a是抽象的：根据定义或性质聚集

a是数字：用特征方程法求解

5、特征方程法：

求解特征值方程|E-A|=0，得到矩阵a的n个特征值1，2，…，n

注： n次方程需要n个根。 (可以有多个根。 写为1=2=…=s=实数，不能省略。 ) )

解齐次方程式=0是不依赖于特征值i的线性的特征值，也就是说其基础解是解)

6、性质：

特征量不同的特征向量的线性无关

k重特征值是最大k个线性依赖的特征向量

1n-rki

设a的特征值为1，2，…，n，则|A|=i，i=aii

r=1，即A=T，这里、都是n维非零列矢量时，a的特征值为1=aii=T=T，2=…=n=0

假设是矩阵a属于特征值的本征向量

相似矩阵

7、相似矩阵的定义：

a、b都设为n次矩阵，在以B=P-1AP方式存在可逆矩阵p的情况下，设a与b相似，记为A~B

8、相似矩阵的性质

如果a和b相似，f和f就相似

如果a和b相似，b和c相似，那么a和c相似

相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹

【促销】

如果A和B相似，则AB和BA相似，AT和BT相似，A-1和B-1相似，A*和B*也相似

矩阵的相似对角化

9、相似对角化的定义：

在a与对角矩阵相似情况下，即存在可逆矩阵p以使P-1AP==

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，然后单击，

据说a可以相似对角化。

注：由于Ai=ii，所以每p列为矩阵a的特征值i的本征向量

10、与对角化相似的充要条件

a有n个不依赖于线性的特征向量

a的k重特征值中有k个不依赖于线性的特征向量

11、相似对角化的充分条件：

a有n个不同的特征值

a是实对称矩阵

12、重要结论：

如果a能够相似对角化，则r是非零特征值个数，n-r是零特征值的个数

如果a不能相似对角化，则r不一定是非零的特征值的个数

实对称矩阵

13、性质

本征值都是实数

不同特征量的特征向量正交

a可以对角化，即存在可逆矩阵p使得P-1AP=

a存在正交相似对角化，即正交矩阵q，以使Q-1AQ=QTAQ=

6二次型

二次型及其标准型

1、二次型：

一般形式

矩阵形式

2、标准型：

如果二次型只包含平方项，即f=d1x12 d2x22 … dnxn2

这样的二次型叫做标准型

3、二次型为标准型的方法：

配餐方法：

通过可逆线性变换x=Cy，使二次型成为标准型。 在此，通过首先处方恢复原状而得到可逆线性变换及标准形。

正交变换法：

通过正交变换x=Qy，使二次型为标准型1y12 2y22 … nyn2

其中，1、2、n是a的n个特征值，q是a的正交矩阵

注：正交矩阵q不是唯一的，只要i和i对应即可。

惯性定理和规范形

4、定义：

正惯性指数：标准型中正平方项的个数称为正惯性指数，表示为p；

负惯性指数：标准型中负平方项的个数称为负惯性指数，表示为q；

规范形式： f=z12 …zp2-zp 12-…-zp q2称为二次型的规范形式。

5、惯性定理：

二次型无论选择何种可逆线性变换为标准型，其正负惯性指数都不变。

注：正负惯性指数不变，因此规范形式是唯一的。

p=正特征值的个数，q=负的特征值的个数，p q=非零特征值的个数=r

合同矩阵

6、定义：

a、b都是n次实对称矩阵，在存在可逆矩阵c的情况下，设为B=CTAC，a和b被称为签约

7、总结： n阶实对称矩阵a、b的关系

a、b是相似的特征值

a、b合同相同正负惯性指数相同的正负特征值的个数

a、b等价r=r

注：实对称矩阵一定与合同相似，合同一定等价

正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义

二次型xTAx为任意x0，始终为xTAx&gt； 如果有0，则称为二次型正定，实对称矩阵a称为正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要求：

a的正惯性指数是n

a和e的合同，即存在可逆矩阵c，A=CTC或CTAC=E

a的特征值都大于0

的顺序的主从式都大于0

10、n元二次型xTAx正定必要条件：

aii&gt； 0

| a|>； 0

11、总结：二次型xTAx正定判定

a是数字。 顺序主表达式都大于0

a是抽象的，证a是实对称矩阵，AT=A； 根据定义或特征量判定

12、重要结论：

如果a是正定矩阵，则为kA，Ak，AT，A-1，A*正定

如果a、b都是正定矩阵，则A B为正定矩阵