线性代数行列式的性质笔记，线性代数行列式的性质例题

为了研究交换的n阶行列式的性质，首先研究交换与数组的奇偶性关系。

在数组中，调换任意两个要素，其馀的要素不动。 这样制作新数组的手续叫做调换，调换相邻的两个要素叫做相邻的调换。

定理1将一个数组中的任意两个元素互换，使数组改变奇偶性。

证明比邻而居的情况。

将排列与进行调换，使之成为。 很明显，这些元素的倒数即使被调换也不会改变，但两个元素的倒数在当时，即使被调换的倒数增加，倒数也不会改变； 当时，更换后的倒数没有变化，倒数减少。 所以数组和数组的奇偶校验是不同的。

再次确认一般交换的状况。

假设数组通过执行下一个相邻输入交换，将其替换为，再执行下一个相邻输入交换，然后替换为，总之，经过下一个相邻输入交换，数组被替换为数组。 因此，这两个序列的奇偶性相反。

像12345一样，变成14325。 将2和3调换一次成为13245； 将4和2调换一次，变成13425； 把4和3调换一次，变成14325。 一共进行了3次置换，逆序的数量从0变为3，进行了偶然的置换。

将推理奇序列变换为标准序列的调换次数为奇数，将偶数序列变换为标准序列的调换次数为偶数

根据证明定理知道交换的次数是数组的奇偶性的变化次数，由于标准数组是偶列，所以推论成立。 证明书完成。

利用定理讨论用行列式定义的另一种表示法。

对于行列式中的任一项

，然后单击，

这里是自然排列，是排列的倒数，交换元素和组成

，然后单击，

此时，虽然本项的值不变，但行标记数组和列标记数组同时进行了对应的调换。 设新行标记排列的逆序数为，则为奇数。 如果设新列标题数组的倒数为。 所以，所以

这表明，置换乘积中的两个要素的顺序，进行标记数组和列标记数组同时对应的置换时，行标记数组和列标记数组的倒数之和不会改变奇偶性。 一次更换是这样的，多次更换当然也是这样。 在那里，换了好几次。 按如下方式操作：

队伍的排列成为自然的排列；

行标数组相应地从自然数组变为某个新数组，以该数组为，以其倒数为，则为某个

，然后单击，

另外，如果是，行列式变码

设证行列式

行列式是交换两行得到的，当时， 那时，在那里

这里是自然排列，是排列的倒数。 设数组的倒数为，所以

请参阅。 完工证

表示行列式的第一行，表示第一列。 两行交换标记，交换

记成两列。

如果推理行列式中两行完全相同，则此行列式为零。

因为证交换了这两行，所以。

性质3如果将矩阵式所在行的所有要素乘以相同的数，就会将该行列式乘以数。

第一行乘以，然后写。

推论行列式所在行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

第一行提出公因子，写下来。

性质4如果两行的元素与行列式成比例，则该行列式为零。

性质5有行列式的列的元素都是二数之和，例如第列的元素都是二数之和：

等于以下两个行列式之和。

性质6行列式的某一列的各要素乘以相同的数加到另一列的对应要素上，行列式不变。 例如，在第数列列中有

请参阅。