线性代数全排列与逆序数，线性代数第一章行列式知识点总结

一.元素

在数学里，考察的对象叫做元素。

例如，将1、2、3设为3位，在没有数字重复的情况下，能组成多少个？ 其中1、2、3被称为元素。

二.全排列

将n个不同的元素排列成一列称为这n个元素的全部排列。 n个不同元素所有序列的种数通常表示。

从n个元素中取一个放在最初的位置有n种取法；

另外，从剩下的n-1个元素中取一个放在第二个位置，有n-1种取法；

就这样继续下去，直到最后只有一个元素被放在第n个位置，只有一个取法。 于是

行列式完全展开的各项对应于该列号的所有数组。

三.倒数

对于n个不同的元素，规定各元素之间有一个标准顺序。 因此，在这n个元素的任意一个排列中，如果某两个元素的优先顺序与标准顺序不同，则有一个相反顺序。 一个数组中所有逆序的总数称为此数组的逆序数。

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶数排列。

如何计算排序倒数：

通常，将n个元素设为1到n的n个自然数，决定从小到大的标准顺序，可以设为

为了这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果有一个更大且前面的元素，则该元素的倒数为。 元素整体逆序之和

也就是这个排列的逆序数。

例求数组32514的倒数。

在阵列32514中，

3位、倒数始终为0；

2之前有一个大于2的数，所以逆序的数为1；

5是最大数量，逆序数始终为0。

前面有三个大于1的数。 因此，倒数为3；

4之前有一个大于4的数，所以逆序的数为1；

然后，排列的倒数是

四.行列式的定义

为了定义n次行列式，首先讨论了三次行列式的结构。 三次行列式定义如下

易懂：

上式右端的各项正好是三个要素的乘积，这三个要素位于不同的行、不同的列。 因此，上式右端的任意项能够除去符号来书写。 这里，第一个下标排列在标准排列123中，而第二个下标是1、2、3这三个数中的任意一个排列，这样的排列共有6种，与上式的右端对应共有6项。

各项的符号与列标记的排列进行比较。

带加号的3个列标记的排列为123、231、312；

带负号的3个项目的列为132、213、321。

经计算，前三个数组均为偶数数组，后三个数组均为奇数数组。 因此，各项目附带的符号可以表示如下。 其中t是列标数组的倒数。

总之，三次行列式是

仿照上式，可以将行列式推广到一般情况。

定义个数，排列成n列的表

制作表中位于不同行的不同列的n个积，通过冠上符号得到形状

有一项。 这里是自然数1，2，n的一个数组，t是这个数组的倒数。 因为这样的数组共享n！ 个，因此，上式的项共享n！ 来修改选定线条的属性。 所有的这n！ 项代数和

称为n次行列式，表示为

简单地记述。 被称为行列式的元素。

这里定义的二次三次行列式与对角线定律定义的二次三次行列式明显一致。 n=1时，请注意不要与绝对值符号混淆。