《空间点》，点的空间关系

话题： #科学# #数学# #点集拓扑#

小石头/篇

大家不太了解“浓厚”这个概念吧。 在日常生活中，常用于表达浓度高的溶液。 例如，我们说要一杯浓咖啡。

如果咖啡溶液足够浓，不管我们用什么倍率的显微镜，瞄准什么水分子，镜头里都能看到咖啡分子。 如果咖啡和水分别用a和b表示的话，

对于任意x B的任意邻域u，ua； 据说a在b中很密集。 从这个定义可以看出：

密集意味着对于任何水分子，都存在与其任意接近的咖啡分子，

b这与此同时，

使用咖啡分子排列的极限，可以指向所有水分子； 数学中最熟悉的例子是

有理数的集合在实数集合中很密集，所以可以使用有理数序列的极限，用任何实数来表示。 例如，

0.999 .=0.9、0、99、0.999、10.499 .=0.4、0.49、0.499、1/21.4142242 .=1.1、1.41、1.414、1.4142

注：人类最初认为密集和完善是一回事。 也就是说，数都是有理数，之后无理数的发现使两个概念分开了。

以上例子中，如果将水b置换为咖啡溶液X=A B整体，则a仍然在x中稠密，此时，由于ax，a被称为x的稠密子集。 很明显，是的稠密子集。

有“密”就有“疏”，在咖啡溶液足够稀的情况下，每个局部的咖啡都不浓。 也就是说，咖啡溶液中没有一个咖啡密集的地方。 即，

对于任意非空vx，a在v中不稠密； a叫疏集。 可以证明的事情：

a是疏散津贴，( a )=注：在某些教程中将此性质作为疏散的定义，因此学生会问。

为什么定义不是a=呢？

在这种情况下，可以举出例子：

=，但是密集而不是稀疏呢。 实际上是(()=，所以不是疏集。

再有，可以数稀疏集合的称为第一纲集，非第一纲集的集合称为第二纲集。 如果一个性质p只满足第一纲集，则p是稀有的，否则p具有普遍性。

有了稠密和稀疏的概念，就更容易看到本文点集的各种操作。

可以很容易地总结

a=(a ) )、a=(a ) ) ) a)、a )=aaaaabab、ab ) a ) b )=a)、a ) ( b )。 例如，序列的极限。

只是，硬要在拓扑空间中定义序列极限，也不是不行的。 为此，利用邻域，将度量空间中的序列极限的定义改造如下，

由于对于a的任何附近u，都存在正整数n，所以部分序列{aN 1，aN 2，aN 3， }u； a说是序列( a，a，a，)的极限。 因为邻域不能表示无限逼近的意义，这里的极限和测量空间中的极限有很大的不同，例如，这里不能保证极限的唯一性。 ( )

另外，我们知道测量空间中的极限和连续性是相关的。 也就是说，

函数f(x )在a点连续，且在适当的情况下，任意取以a为极限的系列( a，a，a，)，f的映射下的系列) f ) a )，f(a )，)全部为f ) a ) ) 但是，在测量空间中不能保证这一点。 准确地说，没问题，但不行。 后者的问题是拓扑空间相对于邻域结构完全不受约束。 如果我们能保证的话，a点有以下附近塔

当uuu .接近a点时，可以从下图中证明。

为此，可以从a的附近中选择几个附近进行构成。 条件如下。

对于任何a的附近v都存在中间的附近u，uv； 叫做a的邻近基。 然后，取出任意邻域v作为邻域塔的u；

中任意取出邻域v，与塔顶u进行比较。 uv或uv时，舍弃V； uv时，在塔顶添加v； 如果以上条件不满足，U V为a的邻域，根据邻域基团的定义，可以从中取出一个U V添加到塔顶； 重复这一步，可以从中获得附近塔。

为了使这个附近塔从a的所有附近看都接近a点，也必须保证这个附近塔是a的附近。 为此，它必须被数出来。 这样，上面递归的构造过程就会被囊括。

根据以上分析，只要、

拓扑空间的任意点都存在可数的邻域基； 可以保证。 以上条件是第一可数的。

受邻近基的启发，我们可以在x中找到一些子集，命令、

如果满足((=(|) )，则可以证明：

=x； 因为a，B的话C是存在的，所以CAB； ) )是x的拓扑学，此时被称为)的拓扑学。 如果，

拓扑空间的拓扑中存在可数的拓扑基； 算第二。

关于可数的概念还有其他。 如果，

拓扑空间中存在可数稠密子集的划分。

以上3种不同可数拓扑空间与测量空间的关系可证明如下图。

从上图可以看出，

测量空间是最多数的拓扑空间可测空间是第二数的拓扑空间，那么什么情况下拓扑空间是测量空间呢？

回头看，上面的讨论，可数性只是解决的问题，依然存在！ 这里理由是，对于测量空间中的任意2个点，总是能找到以各自为焦点的显微镜头，相互看不见，即

)对于任意两个不同点a、b，a U，b V，uv=； 但是，拓扑空间并不总是令人满意的。 满足t的拓扑空间称为Hausdoff空间。

如果将t定义中的两个点都置换为闭集，也就是说，

)对于任意两个不相交的闭集a，b，存在开集u，v，au，bv，uv=； 测量空间同样满足t，拓扑空间不是恒定的。 满足t的拓扑空间称为正规。

注：只有在单点集闭集的条件下，t才一定是t；

很明显，

测定空间一定是正规Hausdoff空间，相反可以证明的是，

第二个可数的拓扑空间是测量空间，只有在正规的Hausdoff空间的情况下； 这就是著名的Uryshon度量化定理。

后来有数学家，把的条件

第二可数：有可数拓扑的正规Hausdoff空间进一步弱化了：

-具有局部有限拓扑的正则Hausdoff空间； 其中，

-局部有限是指几个局部有限点集族的同时；

点集是由点集组成的集合。

局部有限是指对于空间的任意点，存在邻域，仅与点集族的有限个点集相交；

如果把t定义中的一个点置换为闭集，就是t，满足t的拓扑空间是正则的。

本篇后半部分所做的，本质上是在拓扑空间中增加特性，使其极限接近度量空间的极限，但由于拓扑空间的极限与度量空间不同，无疑具有独特的收敛特性。 但是，上极限的定义只是从度量空间的粗暴移植，不能完全表达拓扑空间的收敛特性。 因此，要求更好的定义。 这就是——网和过滤器。 在本系列中，注意点与空间的关系，不想太深入极限的话题，所以不进行网络和过滤器的讨论。 有时间的话，小石会重新写一系列关于极限的文章，进行详细的讨论。