拓扑优化数学模型，数学模型的方法

整体和局部也是一对哲学范畴，全局由各局部组成，但不是各局部的简单总和，而是高于局部。 局部是整体的一部分，但局部也可能影响整体，发挥主要的决定性作用。

图1整体与局部的关系

初等数学主要考察整体的几何形式和数量关系。 当然，在观察整体时，也会特别关注重要的局部，例如三角形的三个顶点是重要的部位、圆心特别重要、二次函数y=ax^2 bx c的极大值(小)值点特别重要等。 但是，微积分学产生之前，分析局部数量变化的工具还很匮乏。 局部研究不深入，整体性质也就不太清楚。 例如，切线问题在初等数学中很难理解。

微积分学提供了分析局部的手段。 数学局部是指u(x0，) u(x0，x0 ) )这一点的附近。 这个可以是任何正实数。 局部性质是在一点附近的性质，诸如f(x )在x0的连续性，可导性仅与该点附近函数的变化情况有关，而与整体如何无关。

另一方面，函数的整体性质也可以用某一定区间[a，b]上的形态来描述。 此时，a、b都是常数，无论a和b如何接近，只要ab就是整体，与附近的可以灵活变动不同。 例如，f(x )在[a，b]中单调上升、有界、非负等是整体性质。

微积分学研究局部性质的目的是揭示整体性质。 大家都知道微积分的基本定理之一是拉格朗日中值定理。 如果f(x )在[a，b]的所有点上连续，可以在( a，b )的所有点上导出的话

f(x2 )-f ) x1 )=f ) () x2-x1 )，其中ax1x2b。

这一定是从局部性质到整体性质的桥梁。 因为定理的条件只是陈述了局部性质，结论是整体性质。 根据这个定理，可以得到f’( x ) 0到f ) x )单调上升； f’( x ) 0至f ) x )单调减少等是整体性质。

几何学中的整体性质非常引人注目。 例如，欧拉多面体定理表示，凸多面体的面数f、棱数e和顶点数v之间存在以下关系。

F V-E=2。

图2欧拉多面体定理

欧拉定理说的是凸多面体整体结构的性质，与该多面体的大小、形状无关。 几何学是研究这种整体性质的数学。 在拓扑和胚的意义上，一个圆和一个正方形没有区别。 它们都把平面分成两个相连的部分，我们可以通过一个“一对一向上的双向连续变换”把圆变成正方形，反之亦然，这种变换就是拓扑变换。

但研究整体性质的几何拓扑学离不开局部性质。 上述拓扑变换的定义有双方连续的提法，连续正是局部性质。 众所周知，连续依赖于极限的定义，但极限可以用附近来描述。 通过数学对象的扩展，邻域可以是区间、平面上的圆、空间上的球、曲面上的小块，甚至是无限维空间上的特定子集。 点集拓扑学是处理最一般空间中局部性质和整体性质的一门学问。 其任务是研究点集的特性，并根据某些特征对点集进行分类。 例如，[a，b]与[a，b]不同，[a，b]是闭集，又是紧集，紧集中收敛子串定理成立，但开区间不成立。

拓扑学的精华在于几何拓扑学，即运用代数方法描述各种曲面的整体特性，对于点集拓扑学似乎已经很成熟。