离散数学集合的基本运算，离散数学中集合的运算

离散数学是程序员的高级必修课，也是计算机专业学生的基础课之一，理论知识多，抽象。

【离散数学】第一章小节主要有：

1.1集合的定义和1.2表示集合和要素关系的1.3集合和集合的关系1.4几个特殊集合1.5集合的运算这里讨论1.5集合计算的最后小节-集合的运算律

本篇包括两个知识点：1.简单定律，2 .特殊定律

把大难题分解成小问题

在定律集合的简单运算法则中，与我们所学的实数运算法则有很多相似之处和相同之处。 集合的简单运算律有三种，分别是交换律、结合律、分配律。

交换规则实数中，对于任意两个数a、b，已知有ab=ba(ab=ba )，这是实数的交换规则

在集合中，将a、b作为任意2个集合，二项式运算f (若将f作为加法运算、并行运算、或对称差分运算，则为f ) a、b )=f ) b、a )，这是集合的交换律。

例如，如果f是加法，则f(a，b )=AB； 有f ) b，a )=BA，AB=BA。

结合律在实数中，对于任意3个数a、b、c，都有( ab ) c=a) bc )，这是实数的结合律。

在集合中，将a、b、c作为任意3个集合，a、b、c进行相同的二元运算时，只要在任意2个集合之间进行二元运算也满足交换规则，就可以交换运算顺序不同的公式。 这就是集合的结合律。

例如，如果f是加法，则a(bc )=) ab ) c。

分配律是实数中，对于任意3个数a、b、c，有( a b ) c=( ac ) bc )，这是实数的分配律。

在集合中，设a、b、c为任意三个集合，两种二元运算f和p(f，p为交运算或并行运算或对称差运算时)、f(p ) a、b )、c )=p ) f ) a、c )、f ) b、c ) )。

例如，如果f是加法运算，p是并行运算，则有a((bc )=(ab ) ) ( ac )。 等号左边b和c先进行并行运算，所得结果与a进行交叉运算。 等号右边的b和c首先分别与c进行交叉运算，所得结果再进行补充运算。 两式的结果相同。

分配规律的核心在于“拆除”。

两个复杂的数据进行一次运算，根据分配规则分割(合并)为简单的数据进行多次运算。

例如计算16625，可以简化为( ( 2222 )2) ) 55 )=( 25 ) )、25 )、25 )、25 )、25 )，结果为10^4

两个复杂的集合进行一次运算，分割(合并)为单纯的集合进行多次运算。

分配律的思想很重要

特殊法则集合的特殊法则有幂等律、同一律、零律、吸收律、矛盾律(排中律)、双重否定律、德摩根律7个。

乘幂律任意集合和自己的交往是自己，任意集合和自己的并集也是自己

AA=A，AA=A

乘方是乘方的意思，乘方等意味着自己和自己运算得到同样的结果。

因为集合中没有不属于集合自身的要素，所以自身的交叉运算和并行运算的结果都是自己。

一律对任意集合和空集合进行并行运算得到自己，对全集内的任意集合及其全集进行交叉运算得到自己。

A=A，AU=A

因为空集合是任何集合的子集，任何集合与自己的子集并行运算的结果都是自己。

因为a是全集的部分集合，所以a和全集相同的元素的集合是a。

对零律的任意集合和空集合进行交叉运算得到空集合，对任意集合和全集进行并行运算得到全集。

a=，AU=U

吸收律a、b是任意两个集合，将a和b的交集再次合并为a，将a和b的交集再次与a求交集的结果为a。 请参阅。

a(ab )=A，a(ab )=A

因为a、b的交集是a的子集，所以推进a及其子集进行运算的结果是a。

矛盾律任意集的补集与自己相交运算得到空集，任意集的补集与自己相交运算得到全集。

~AA=，~AA=U

的补集没有与a相同的元素，所以它们的交集是空集。 第二条可以通过补集的定义来证明。

双重否定律的任意集合的补集是自己。

~(a )=A

摩根定律a、b是任意的集合，对a和b的并集进行补码运算时，对a的补集和b的补集得到求交运算，对a和b的交集进行补码运算时，对a的补集和b的补集得到求和运算。

( ( a(b ) ) ) a ) ) b )，) a ) b ) ) a ) 2222 B2 )

前六条定律的证明很简单。 例如，让我们简单地证明摩根定律：

设a={ 3，4，5，6 }，b={ 5，6，7，8 }，全集U={x|2×9}

() ) ) a(b ) ) ) a ) ) b ) ) 2

因为，ab={ 3，4，5，6，7，8 }

因此，( a(b )={ 2，9 }

( a )、7、8和9 )、~b )、3、4和9}

因此，() a ) ) b )={ 2，9 }

通过上述公式得到证明

同样可以证明第二条。

学习笔记是少不了的

以上是1.5 (下)集合的运算律的全部。 如果有帮助的话，请请求赞。 如果有错误的话，谢谢您的指出。

本论文的内容是集合论的基础重点，部分内容在高中已经学习，整体难度较低，理解很重要。 完全理解和掌握本篇的所有知识，将有助于学习后面的内容。 离散数学-集合论的基础部分到此结束。