数学的基本矛盾，代数学的三个历史观点

作者|宋宁源《数学文化》第十二卷二期转载《快乐数学》获准。 在此感谢。

一夜读完人民邮电出版社的新书《代数的历史》，脑子里满是两对矛盾——，不是“逻辑矛盾”，而是辩证唯物主义讲的“辩证矛盾”，即一切事物内部所蕴含的辩证统一两个方面。 哪两组辩证矛盾？ 一是数学的抽象和具体直观，二是数学的内在逻辑和形成逻辑。

《代数的历史》，约翰德维希尔著，张浩译，人民邮电出版社，2021，点击封面图查看图书详解m

读了《代数的历史》之后，我首先想到的是“数学抽象与具体直观”的矛盾，因为我觉得这就是本书的暗线。 当然，这本书讲的是历史，是代数历史，而代数历史正是逐步抽象的历史。 这里使用了“逐层”这个词，但这不是信口开河。 数学被公认是抽象的，但这种抽象和具体直观不是绝对的，而是相对的，更有层次的。 下一个抽象对于上一个抽象来说是相对的“具体直观”。 这是我在多年的数学学习和工作中形成的体会。 我想通过这篇文章澄清很多人对“数学抽象”的误解。 前几天刚和一个朋友聊了这个话题，正好借了《代数的历史》这本书，我们也可以聊这个话题。 当时，朋友m在找20世纪70年代德国数学家德德金的论文。 他为什么要找那么旧的论文？ 毕竟他要找的其实是关于德金分割的文献，那是用来刻画实数的，现在这是经典理论，在很多书中都能找到。 m虽然现在数学教材中出现的德克尔分割并不是德克尔的本意，但m正在探索“容易理解且严密性兼备的无理数的定义方法”。 m觉得“康托和德金太抽象了，不完全理解实数”，放弃了“几何学的启发”，回答说“又难又可怕”。 更何况，迪肯分割是实数这一点太不直观了。 ——，但我个人认为这样的担心是多余的。 我不打算公开和m展开“论战”。 我只是想谈谈我对数学抽象性的理解。 我想像m这样比较专业的人，以及我们的数学教育者中，也有很多人误解了将数学的抽象性绝对化。

抽象的相对性

我认为无论是在数学教育还是数学研究方面，都不应该追求“绝对的直观”。

之所以说没有必要，是因为数学的抽象是相对的、层次性的。 抽象既不是“难”，也不是“繁”。 “抽象化”只是从这些个体中提取一些研究对象的共性进行思考的过程。 我们每个人从小到大都不断地对客观或主观世界进行各种抽象，这只是我们人类思维的功能。

以自然数3为例，三个苹果是3，这是毫无疑问的； 我把苹果放进箱子里，放了三箱。 这也是3。 我把苹果盒子放进卡车里，装了三辆车，这还是三。 这里的三个苹果、三箱苹果、三台苹果从绝对数量上看是完全不同的，但它们的共性是自然数3。 在这个例子中，自然数3是3个苹果、3箱苹果、3台苹果的“抽象”，3个苹果、3箱苹果、3台苹果等都是自然数3的“具体直观”。

那很难吗？ 不难。

那个很麻烦吗？ 相反，自然数3是从3个苹果、3箱苹果、3台苹果中提取的共性，因为它像除草剂一样去除了干扰思考的各种“杂草”。

那么，“抽象的相对性”是什么意思呢？ 果然还是按照上面的例子继续思考。 上面的例子，只不过是从现实生活中抽象出了“数”。 我们在小学的大部分阶段都熟悉这些“数”之间的各种运算。 又经过小学高年级的铺垫，到了中学，情况发生了很大的变化。 到了初中，因为开始学习用字母代替数的运算，在你的心里，数学这门笼统的学科中第一次出现了分歧。 既然这个分支用字母代替数学运算，它的名字当然就是“代数”。

根据《代数的历史》的记载，这在数学史上正式形成，可以追溯到16世纪的法国数学家韦达。 实际上，这是第二个层次上的抽象。 对初学代数的中学生来说，过去用数计算相对具体直观，但现在用字母代替数运算相对抽象。

再者，中学生沿着代数这条路走下去，不可避免地会遇到方程和解方程的问题。 可能有些学生在小学时代就知道鸡兔同笼问题，因为当时是用具体直观的数字计算的，所以方法上使用技巧上的所谓“假设法”。 现在，完全不需要。 由于从数的计算抽象为代数运算，“假设法”的“假设”被替换为取未知量x列方程式。 这样，不仅可以解决鸡兔和笼子的问题，还可以解决其他类似的问题。

你看，抽象过程让问题变难了吗？ 不，正是没有。 正是这种抽象使问题变得简洁、明了且简单。

接下来，有些学生在理解了一次方程式、二次方程式之后，就记住了卡丹式，可以解三次方程式了。 此外，有些人知道四次方程的根式解法。 根据《代数的历史》的记述，这发生在16世纪的意大利。 这些虽然一个个都很难，但是抽象水平的上升看不到。 实际上仍然停留在同一水平，是关于代数方程式根式解的问题。

直到知道似乎不能给出五次方程式的根式解为止。 但是进一步的研究发现，由方程根构成的对称多项式和方程的系数之间有密切的关系。 这就是我们在中学熟知的吠陀定理。 虽然这还没有出现抽象水平的提高，但是对下一次的提高做了重要的准备。 对称多项式。

“对称多项式”是一个多项式，即使将多项式的某些自变量互相替换也不会改变。 这种“变化中无变化”的现象是对称的。 例如，我说正三角形关于中心是对称的。 这是因为，即使以中心为中心逆时针旋转120度，也会与原来的三角形重叠。 在这个过程中，整个正三角形边界上的各点的位置会发生变化。 但是，这个三角形在旋转时整体上不会发生变化。 这就是“变化中有变化”。 这就是对称。

于是，果然还是停留在用字母代替数字的抽象层面，肯定是不行的。 要真正解决高阶方程根式解的问题，需要研究替换这种自变量时的“对称性”。 根据《代数的历史》的记载，这在拉格朗日时代就已有研究，代表性的工作是拉格朗日先验解式。

此外，仅仅研究代数方程上的对称性还不足以彻底解决问题，应该更抽象更广泛地研究对称性。 对称性有什么特点呢？

把对称看作是“变化有变化”的变换吧。 姑且称之为对称变换吧。 其次，固定一组研究对象的集合s，考虑由它们所有的对称变换构成的集合g。 g有什么性质？

首先，如果对s连续进行两个对称变换g和h，s仍然是不变的。 换句话说，如果连续进行两个对称变换g和h，仍然得到一个对称变换，表示为g h，它正好可以看作是g和h之间的运算。 我们暂且称之为乘法吧。 以上事实从数学的角度来说：

对于g中的任意g和h，其乘积仍然属于g。

这叫封闭律。

其次，在g中两个对称变换的乘法很重要，所以试试三个对称变换的乘法吧。 很容易看出存在( f ) g ) h=f(g ) h )的法则。 这类似于数学运算中的结合律。 这也叫结合律。

第三，s上的恒等映射e不明显改变s，所以是对称变换，属于g。 而恒等映射实际上并没有做什么，所以与g中其他对称变换g相乘的结果还是g本身，这类似于数上乘法中的1的作用，我们称之为酉，这个结论叫酉律。

最后，对于g中的每个对称变换g，总是寻找另一个变换h使g返回。 正三角形对称为例子。 如果g表示正三角形绕中心逆时针旋转120度，h顺时针旋转120度即可。 换句话说，GH什么都没有动，也就是说，相当于h=e。 如果将恒等映射类比为实数乘法中的1，则g和h可以类比为互为倒数的2个数。 因此，可以将它们称为对方的逆元，该定律也可以称为逆元律。

这样，从s的全体对称变换的集合g中，抽象出封闭律、结合律、或者元律和逆元律这四个本质属性，把这样的g与对称变换的乘法组合起来就构成了置换群。 根据《代数的历史》的描述，该研究起源于法国数学家柯西，由挪威数学家亚伯引用，最终证明一般的五次方程没有根式解。 正式开始置换群研究的是法国苦命天才伽罗瓦，他死于虚妄的决斗。

进一步抽象化。 规定将闭合律、结合律、或元律和逆元律这四个作为公理，在一个非空集合g中定义一个运算，只要满足这四个公理，g和该运算就构成一个抽象群。 根据《代数的历史》的记述，由英国数学家凯利正式引进。 这也是近世代数这门课程中数学专业本科生的入门概念。

长长的系列只是想说明，抽象与具体直观是相对的，是有层次的，不可能存在一厢情愿的绝对的具体直观。 上述讨论的一些数学对象和问题，抽象的层面如下图所示。

对m的回复

我对m说了。 “关于德金分割，我认为不是坏事。 习惯就好了。 是本质的。

但是，m强调“迪肯分割太不直观了”。

我回复了m。 “我认为德金分割并没有放弃几何学的直观性。 过度批判那个可能反而不利。 再加上“非直觉”——的担忧是多余的，数学抽象是相对的，追求绝对的具体直观是没有意义的。

m回复说，“直观”在专业教数学上很有意义。

其实，这种不直观的东西在现代数学中比比皆是，但当它剥开相对抽象的外衣时，实际上在下一个抽象中可以看到相对直观朴素的思想。 好了，既然讨论到了这个层面，我们就在这个层面谈谈吧。 可以谈谈更简单的有限射影平面。

有限射影平面可以追溯到法国数学家德萨格，帕斯卡时代的古典射影几何学。 随后，法国数学家彭赛列系统地总结了古典射影几何学。 简而言之，在彭赛列的著作中，射影平面通过在经典的欧氏平面上加入无穷远点，将平行看作与无穷点相交的特殊交点，将所有的无穷远点连接在无穷远直线上。

这个说明直观吗？ 很直观。 严密吗？ 不严密。

于是，后来一些数学家将射影几何学公理化了。 我们认为射影平面可以用以下4个公理来定义：

任意两点相关的唯一线；

任意二线相关的唯一点；

任意一线至少有三点相关；

任何一点至少与三线相关。

这个严密吗？ 严谨。 直觉吗？ 可以，但有点不直观。 对了，相对抽象开始了。

而且，能构筑满足这4个公理的投影平面吗？ 是的，古典的投影平面就是满足这四个吧。 然而，其射影平面有无数个点，能构造出满足四个公理的有限射影平面吗？ 也就是说只有有限个线、有限个点的投影平面？

当然，不仅能做到，还能批量生产！

有限域就可以了。 通俗地说，域是可以加减乘除，且也满足常见运算法则的代数结构。 例如，整体有理数在普通加法和乘法下是域，只是有无限个元素，所以是无限域。 对于整整数的某些素数p得到的所有同构都可以构成特殊的有限域Fp。 域和有限域在《代数的历史》的第三部分中有详细介绍。

那么，利用有限体Fp如何批量构造有限射影平面呢？ 很简单。 考虑有限域Fp上的三维向量空间v。 “向量空间”一般在大学线性代数课程中描述，在《代数的历史》的第二部分中也明确介绍了这个概念。

我该怎么办？ 将v作为有限域Fq上的三维向量空间，将v的1维子空间看作\” 4个公理\”中的\”点\”，将v的2维子空间看作\” 4个公理\”中的\”线\”。 验证一下吧。 很明显，四条公理得到了满足。

由此产生有限投影平面，一般表示为pg(2，p )。 那个有限吗？ 确实，很容易计算。 其分数和线数都是

有名的“七点平面”是那个p=2的情况。

回头想想，这条路合情合理吧？ 有什么不直观的地方吗？ 我们通过逐步的抽象，一步一步来，所以如果你觉得有什么地方不直观，太抽象了，唯一的解释就是。

你不熟悉这种程度的抽象！

你没有让这个层面的抽象成为你的“具体直观”！

当然，在内在逻辑上，我们已经具备了上抽象代数课后学习有限射影平面的逻辑前提。 因为我知道什么是域，什么是有限域，什么是向量空间。 但是，此时，如果直接接触有限投影平面的话，不是说“点”吗，“点”是怎样的线呢？ 蒙上眼睛一段时间的概率很高。 不是叫“线”吗？ “丝”是怎么变成面的？

——知道，没有比抽象数学更能抽象地学习。 否则，只能是原地踏步的“空对空”。 但是，不能奢求彻底的、绝对的直观具体，而应该在现在你所在的抽象层次的前一个抽象层次中，寻找属于你的相对直观具体。

回到m的问题

同样，回到m的问题。 如果你知道德金和康托面临的问题，你一点也不会惊讶于他们答案的抽象度吧。

他们实际上必须追加数学分析的最后一个谜题。 这个拼图空了多久？ 2000多年。 在古希腊毕达哥拉斯的时代，我们知道光靠有理数不能解决很多问题，但如何严密定义无理数成为了一个难题，《代数的历史》在第二章中提出了这个问题。

古希腊人的解决方案是完全放弃数量，代之以定义量。 据说那多亏了欧德克斯。 具体的定义方法记录在欧几里得的《几何原本》中，被称为比例论。 处理微积分这类问题的方法被称为穷摇法，但欧德克斯也是严格意义上的穷摇法的创始人。

在穷竭法中，接受欧德克斯衣鉴的人是阿基米德，但此后古希腊人对微积分的贡献就不大了。 毕竟，他们不承认数量，只能用几何方法间接处理问题，严重束缚了手脚。

这种奇怪的现象直到罗马帝国统治希腊才逐渐改变。 在《代数的历史》的第二章中，记录了这个重要人物——的丢番图，有人称其为代数之父。 番图并不面对无理数的严格定义，而是假设它们存在来求解方程。 但是在罗马帝国时期，人们对数学不太感兴趣。 下一个转折发生在文艺复兴以后。 欧洲许多数学家逐渐放弃了原来的欧氏几何框架，最后用牛顿和莱布尼茨的手动混淆的“无穷小算法”构造微积分。 但是微积分的基础并不牢固，之后的200年，柯西和魏尔斯特拉斯等人才创造了n语言，进行了比较严格的数学分析。

但是，还有一个问题没有解决。 那无理数是什么呢？ 实数的集合必须没有无理数。 否则，实轴上就会有无数个“小孔”，在求极限时，一不小心就会掉进这些无理数的小孔里。 这时，康托和德金等人登上了历史舞台。 最终，悬而未决的两千年问题在迪肯分割下得到解决。

用“非常直观、具体”的手段解决已经拖延了2000年的问题怎么可能呢？ 你为什么对那个感到惊讶？

实际上，在德金分期提出的短短二十年后，希尔伯特的《几何基础》出版，形式主义公理化的时代正式拉开了帷幕。 在德金分割的加持下，完美的实数公理系统也登场了。

一个学生如果熟悉公理化、结构化的数学思想，比如希尔伯特几何公理系统，或者其他什么现代公理系统，就不会惊讶于德金分割这个层面的抽象。

但是，如果之前没有这种逐层抽象的铺垫，他很快就在高阶抽象的空中楼阁之中，只是按照数学自身的内在逻辑接受这些理论，他当然会觉得抽象，没有几何直观。 就像之前我举的有限射影平面的例子一样。

内在逻辑和形成逻辑

在前文中，我已经多次提到数学的内在逻辑。 要说是什么意思，我不是哲学家。 只是从我自己的体验开始说。

我认为在数学的教学、学习、研究中，实际上都存在两个逻辑。 其中一个叫做内在逻辑，另一个叫做形成逻辑。

内在逻辑是在演绎推理下，从公理和定义中推导出各种引理、定理、性质、公式的逻辑。 也是我们在数学教材和论文中，特别是在证明了两个字之后看到的逻辑。 我把它称为“内在逻辑”，但实际上，它只是纸面上的表象。 撕开这美丽的版面，才能看到它的形成逻辑。 也就是说这些数学证明是怎么来的？

再具体一点，也可以把数学的形成逻辑分为真正历史上的形成逻辑和想象中的形成逻辑。

实际的历史形成逻辑是指相关的数学问题乃至数学分支如何在数学史中一步步形成，如《代数的历史》所示。 我们现在在数学史、数学科普、数学文化的书中，有一种不良倾向，就是把数学史和数学文化当作“数学八卦”，只谈论当时的数学怎么样。 结果，大家读了之后，哈哈哈很开心。 数学家还有这件事，——没有意义。

《代数的历史》则不然。 另一方面，讲了故事，但不拘泥于八卦故事，更多地展现了相关的时代背景和文化背景。 另一方面，它不仅讲述了故事，还介绍了代数在过去时代的发展情况，甚至是当时数学家采用的方法和技术。 这是因为我们现在学习的向量空间、矩阵、行列式、群、环、域、体、模等，正是当时的数学家们研究了这些问题，运用、借鉴了这些技巧，联想到了它们的方法

在那里，我们在理解现在数学的样子的同时，也可以更清楚地理解它是怎么变成这样的。 我们毫不怀疑为什么抽象群是这样定义的，为什么有限域、有限射影平面是这样的，更不用说德肯分割为什么这么不直观。

当然，数学真正历史上的形成逻辑并不能完全支撑我们相关课程的数学教学。 第一，因为不可能把所有的数学课都变成数学史。 不能将“数学分析”课改为“数学分析学史”，也不能将“抽象代数”课真正改为《代数的历史》。 其次，真实历史中的形成逻辑往往曲折曲折，数学家们经过两千年的反复试验，将大金分割，经过三百年的反复试验，形成了抽象群体。 我们没必要这样做，但从历史来看，我们可以找到一条笔直转弯、形成逻辑的捷径。 这就是我所说的“想象中的逻辑形成”。

我们应该在各种数学课上弄清楚“相关的数学知识是怎么得到的”。 也就是说，应该明确其形成逻辑。 此时，需要《代数的历史》这样的书。 那是明确了历史性的故事和当时采用的导出的想法。

那么，我们还不谈内在的逻辑吗？

当然需要。 数学当然需要证明。 那些妄想“看、做、猜”就能学好数学的想法，只不过是想把抽象的数学一股脑儿钻出来，一步一步，直接绝对直接感化。 这种想法很短视，很伤人！

妄想用这种方法变成“负面”，就是说梦想！

痴人说梦

我不反对减负，但我反对通过减少学习内容或破坏体系结构来减负！

减少学习内容会变成负面吗？ 不！ 我想勇敢地说，这是一种虚假的轻松，迟早会给未来增加负担。

以中学数学为例。 现在的中学数学为什么要削减那么多欧几里得几何？ 为什么看不见公理的几何体系了？

当然，欧几里得几何学是已经死了，不再发展的数学领域，可以说让他们多学习解析几何学和大数据等比较好吧。

但是，欧氏几何的价值是这样的吗？ 那本来就不知识性！

普通人不需要通过欧几里得几何学学习知识。 例如，在两点确定唯一的直线。 不学欧几里得几何学就不知道这个吗？ 当然不是。 欧几里得几何学起什么作用呢？

公理化系统化的欧氏几何可以让学生体验“公理化”这一重要数学思想，深入体验数学证明的过程。 这是学生将来学习更抽象数学的必要阶梯。 如上所述，数学抽象是分层次的，每个层次的抽象直观地将前一个层次的抽象具体化。 这个逐步抽象构成了数学学习的阶梯，现在你们想从这个抽象的阶梯上引出几个阶梯吗？ 那么，结果会怎么样呢？ 他将来要真正学习具有高度抽象特征的数学，只能踏上难以置信的空中楼阁。 结果，听不懂课，下课也不会做题，考完才有点调，考完就忘得一干二净。

这样下去，国民的数学素养会怎么样呢？ 在工业化、信息化的时代，我们的国运会怎么样？ 我也是痴人一人。 是痴人说梦。 各位，如果感到困惑，笑一下就结束了……

作者简介：

宋宁，山东师范大学学士，福州大学硕士，南开大学博士。 2017年至今任教于山东理工大学数学系。

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