几何与代数，代数几何的历史

作者|陈跃

来源|科学出版社数学教育

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根据俄罗斯数学家沙法雷维奇的观点，代数几何在20世纪现代数学的发展历史中占有相对的中心位置。 抽象代数、代数拓扑和微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是出于代数几何研究的需要而提出的。 代数几何可以仅仅看作是一门“用多项式研究几何，用几何的思维方式研究多项式”的学科。 特别是从代数几何中出现的代数与几何相互作用的方式具有普遍的意义，目前这种观点几乎渗透到了所有现代数学的各个主要领域。

本文作者陈跃，原文题目《什么是代数几何》，由于文章长度的限制，将文章分为两部分。

《一文搞懂代数几何发展史》是20世纪早期和以前很长一段时间数学家们对代数簇的深入研究

阐述了《一文搞懂代数几何发展史》将抽象代数方法引入代数几何到概化理论建立这一时期的发现情况。

欢迎品鉴，一文理解代数几何发展史。

欢迎回来，本文是《一文搞懂代数几何发展史》的第二部分，我们继续追根溯源讲历史。

四、将抽象代数方法引入代数几何，必须真正严密地建立代数几何的理论基础，抽象代数必不可少。 这是因为抽象代数在最一般的情况下可以正确描述代数簇的性质。 1900年至1930年间，群、环、域、型等抽象代数的理论开始出现。 群论主要来源于19世纪的伽罗瓦( Galois )理论，环和理想的概念来源于戴金的代数数论，它们最初的雏形是域的代数整数环及其理想的概念。 克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环和理想的概念，而且拉斯克在20世纪初期发现了理想与代数簇之间最基本的天然联系。 例如，对应于不可约代数簇的“坐标环”一定是完备环，不可约代数簇的几何维数实际上等于该完备环的商域位于复数

图6： 伽罗瓦

这样，仿射代数簇与坐标环之间存在一对一的关系，只要适当“拼贴”一些仿射代数簇，就可以得到传统意义上的代数簇。 因此，仿射代数簇是代数簇的基本组成部分。 例如，维数复射影空间是最简单的代数簇，由普通维数复欧几里德空间贴合而成。

除了代数数论是环和理想理论的主要来源外，希尔伯特( Hilbert )的代数不变量理论也是理想理论的重要来源。 著名的希尔伯特零点定理表明，多项式空间中的极大理想与点一一对应，而坐标环中的极大理想与仿射聚类的点一一对应。 这意味着可以基于代数信息，也就是理想构建几何对象，这是后来概型( scheme )概念产生的最原始的想法。

图7： 希尔伯特

然后库尔( Krull )建立了更多关于环境的理想理论，如环境局部化( localization )的概念、整个闭环的性质、赋值理论、库尔维数等。 对代数几何来说，环的局部化是一个非常基本的概念。 对仿射代数簇来说，全环的商域是其有理函数域。 上面的每一点都有局部环境。 后来发现这些局部环整体构成了能够刻画仿射代数簇几何特征的结构层( structure sheaf )。

e .诺特( E.Neother )是20世纪最伟大的女数学家，也是代数几何学家马克斯诺特的女儿。 e .结以前，代数学基本上只限于实数域和复数域进行研究。 e .诺特最先认识到代数结构是代数中最重要的概念，她在构建抽象代数的基本理论框架方面起着主要作用。 范德比尔特( van der Waerden )撰写的经典教材《代数学》是为了系统地总结e .结和e .阿登，将德金的代数域理想分解理论推广到一般的环境中，提出了“任何理想都是准素理想的交集特别是关于“节点环”等代数几何中最常用的相关概念和理论。

图8：E. 诺特

范德比尔特也为代数几何的逻辑基础奠定了重要贡献。 他在20世纪30年代写了一系列文章，用抽象代数的方法解释了传统代数几何学家们直观笼统的“一般点”和“专门化”的真正含义，揭示了交集理论中最基本的代数簇交集的重要性，尤其有趣的是，范德比尔特的学生和主要合作伙伴周炜良也周为良是上海出生的中国数学家，他的一生对代数几何有很多贡献。 其中最有名的是，他证明了代数簇上封闭( cycle )的有理等价性定理，从而可以定义重要的环——周环( Chow Ring )，它是目前交叉理论的基础术语之一。

另一位将抽象代数方法大规模引入代数几何的数学家是扎里斯基( Zariski )。 原来是意大利学派三位大师的学生萨利斯基对他整理的意大利学派成果证明的严密性不足感到不安和失落，决定用抽象代数的方法重新提出所有的证明。 起初，扎里斯基只是把几何学语言“翻译”成代数语言。 但他很快意识到，将古典代数几何定理平行翻译成抽象代数的语言还不够。 大多数情况下，扎里斯基必须自己重新发明新的抽象代数概念，导出相关的抽象代数定理，才能满足描述代数簇复杂性质的需要。 例如，重要代数曲面奇点解定理证明时，扎里斯基首次成功地将环论中闭包整体理论和库鲁的赋值环理论应用于代数几何，并建立了一个新的抽象代数概念，称为“正规”。

五.现代整体微分几何的引入是在1913年，数学家威尔( Weyl )在研读克莱恩)的黎曼面著作的基础上，写出了《黎曼面的概念》这一极其重要的著作。 其中首次给出了黎曼面的现代严密定义，系统地梳理了黎曼面的解析理论。 从外尔给出的黎曼面内涵的定义来看，人们不容易得到高维微分流形的一般定义。 也就是说，微分流形是局部在欧氏空间中形成胚的拓扑空间，而且所有坐标邻域之间的变换函数都是可微函数。 当然，代数簇可以包含奇点，因此不一定是微分流形。 但从研究微分流形过程中产生的几何方法和理论大多可以用于代数几何。 其实，微分流形的定义是后来概形定义的源头，强调两种定义都不依赖外部空间而独立存在，而且局部与比较简单的几何对象同胚(或同形)。

这时利维-齐维塔( Levi-Civita )为了揭示黎曼发现的复杂曲率张量的真正含义，在黎曼流形中提出了“平移”的简单概念。 外尔进一步将其发展为“仿射联系”这一现代微分几何的基本概念。 “联络”简单来说就是寻求切断空间的指引的法则。 (用于绘制流形的曲度。 法国数学家e .嘉当( E.Cartan )根据所使用的著名的“活动标架”方法，提取了“矢量群”上的联系思想(后来人们从矢量群的理论出发，提出了更一般的“纤纤”) e .嘉当还用外微分形式表示向量丛上的联系。 他在研究李群(特殊微分流形)的整体拓扑性质时，发现可以从外微分形式直接得到流形的几何和拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的密切联系。 e .嘉当发现，微分流形上所有外微分形式决定的鼓( de Rham )同构群和m上同构群( cohomology group )同构。 )“同构”一词在代数上是指这两组完全相同。 因此，代数簇的几何不变量可以用外微分形式表示。

图9： 陈省身

陈省身先生继承了e .嘉当的纤维丛思想，于1946年利用流形m的纤维丛e上的外微分形式确定了m上同调群的元素——“陈(示性)”。 这个概念建立了微分流形上同构群与微分流形上同构群之间的直接联系，说明了纤维群在描述微分流形的整体拓扑性质中的重要性。 后来发现，陈类是表示高维代数簇黎曼罗赫定理的基本工具，而纤维丛是描述代数簇几何性质的基本语言。 众所周知，纤维丛也是现代数学物理理论中的基本概念。

要使纤维丛真正进入代数几何，还要依靠另一位大多数学者韦( Weil )的努力。 1950年，韦首先发现流形丛的理论可以用于代数几何。 这是因为流形上被称为“除子”的特殊子流形都对应于一个线群( line bundle，即秩1的向量群)，反映流形拓扑性质的主要指标Euler示性数也必须用流形切片的陈类来表示这样，纤维丛几乎与同时发展的层次论( sheaf theory )融合，成为推动代数几何前进的有力武器。

六、概化理论的创立韦依可以说是现代数学中涉猎最广的数学家，他对20世纪几个主要的基础数学分支学科做出了重要贡献。 韦依研究代数几何的动机主要来源于数论——，他很久以前就想证明著名的黎曼猜想。 韦依采用的是间接迂回的战术。 简单来说，黎曼预测是关于几个相对简单的域(例如有限域)证明的，并且从其获得了经验以处理最难的复域中的黎曼预测。

为了证明有限域的黎曼猜想，韦需要使用经典的代数几何方法，所以他必须首先解决经典代数几何概念模糊、理论基础不稳定的严重问题。 为此，他在1946年写了专集《代数几何基础》。 其中，韦仿照微分流形的定义，首先提出了所蕴含的抽象“代数簇”的定义。 他用有理函数作为变换函数，将局部比较简单的仿射代数簇粘在一起成为抽象的代数簇，从而完全摆脱了外在射影空间的束缚，大大扩展了代数几何的应用范围。 韦依使用交换代数的语言，引入了闭链、一般点、专门化、交重和曲面上的对应等代数几何的重要概念。

1946年，上述书出版后不久，韦依终于证明了关于有限域代数曲线的黎曼猜想。 然后在1948年，韦根据阿贝尔簇和格拉斯曼簇( Grassmann variety )等高维代数簇在有限域上的点数计算结果，提出了在高维代数簇上与黎曼猜想相似的“韦猜想”。 这一猜想充分表明有限域上代数簇的算术( arithmetic，即数论)与复域上代数簇的拓扑之间有着非常深厚的内在联系。

为了证明韦依猜想，数学家们需要很多数学工具，包括尚未创造的概化理论。 概的概念包括两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是其上的各种“函数”，即“层”。 层次论是20世纪40年代初由法国数学家雷雷( Leray )提出的。 层的概念来源于复函数中的完全纯(解析)函数，其元素可以是函数，也可以是包括群、环、纤维丛剖面等在内的各种其他对象，可视为纤维丛的某种形式的扩展。 层的优点是它包含光纤群集中的各种几何和拓扑信息。 例如，通过构造层的上位同调群，可以从局部信息中得到拓扑空间整体的信息，并且还可以处理具有奇异点的复杂几何空间和流形。 20世纪50年代，数学家h .嘉当( e .嘉当的儿子)在研究多复变函数论时，发现莱利的层次论非常有用。 他发现意大利学派的许多复代数几何不变量可以用层上同调群语言来表达。 h .嘉当进一步给出了环层空间( ringed spaces )的定义，其作用是“粘贴”简单空间。 他还与艾伦伯格( Eilenberg )一起创立了代数几何中常用的同调代数的基本理论体系，证明了同调代数中的许多定理。

图10： 塞尔

另一个大力推动层次论进入代数几何的重要数学家是塞尔( Serre )。 塞尔引入了凝聚层( coherence sheaf )的概念，这在容许有奇点的斯坦流形上非常重要。 这可以看作是纤维丛的某种模拟。 凝聚层上同构群具有非常好的性质。 然后塞尔发现层论比Stein流形更能用于特殊的复代数簇，很快就把层论系统地大规模应用于代数几何。 塞尔为代数几何设想的

是被称为“细胞簇( Serre variety )”的最基本的研究对象，其中充分吸收

h .接受了嘉当的环层空间概念。 塞尔认为这是比不用韦的层次论的抽象代数簇更简单的概念。 但是，和韦的抽象代数簇一样，单元簇也有自己的缺陷。 例如，如果有关于“完整性”的附加条件，则小区集群的使用范围会受到限制。

实际上，在20世纪50年代，已经有人想到了比概形这个单元集群更基础的概念，但实际上没有勇气创造这个概形理论。 为什么这么说呢，因为如果要把概形作为代数几何最基本的研究对象的话，就只能推翻此前构筑的代数几何的整个理论大楼了。 而且，这个概化理论还需要综合一百多年产生的代数、分析、几何、数论和拓扑等学科的许多主要成果，从其工作量之大来看，这无疑是一项“不可能完成的任务”。 这个空前巨大的概型理论的诞生需要格罗滕迪克这样的超天才人物。

1928年3月28日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭。 当他开始数学研究生涯的时候，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。 之后，格罗滕迪克投入了同调代数的研究。 在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。 格罗滕迪克从塞尔和其他数学家那里学到了很多现代数学和代数几何的基本知识，对代数几何和数论产生了兴趣。 他研究和构建代数几何基础理论的一个强烈动机，其实也是为了证明与黎曼猜想相似的有限域高维代数簇的韦猜想。

图格罗滕迪克

如上所述，仿射代数簇与其坐标环之间存在一对一的关系，使得对仿射代数簇的几何研究也可以转化为对相应坐标环的代数研究。 但是，坐标环是性质良好的环，环论中也有“-代数(-algebra )”的特殊名称。 由于并不是所有的交换环都是仿射代数簇的坐标环(例如整数环就是这样)，格罗登迪克利用任意的交换环构造一类仿射代数簇的抽象几何对象，所有的交换环都在这个抽象几何对象的“坐标环”上大约在1957年，卡内基提出了交换环的全素理想集合作为对应的“几何对象”。 这是经典仿射代数簇的抽象推广。 这个简单的想法很快就成了格罗滕迪克重建代数几何基础的出发点。 这是因为每个交换环的素谱可以与其上的结构层一起构成一个环层空间(，)，该环层空间是最简单的概化——“仿射概化”。 这个仿射概型对格罗登迪克来说是“抽象的几何学对象”。 有了仿射概型，对这类新几何对象的研究可以转化为对任意交换环的代数研究，大大扩展了这种新几何的应用范围，实现了将代数几何与代数数论统一的长期梦想。

概形是指部分与仿射概形同形的环层空间。 或者，概形也可以大致理解为是将几个概形适当地“粘贴”而成的。 由于仿射概型是仿射代数簇的推广，表明概型确实是经典代数簇的抽象推广。

1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了报告。 他的这份报告不是他过去取得成就的报告，而是未来十年工作的预告。 后来，被称为代数几何的圣经第8卷《代数几何基础》(Ega )，由格罗滕迪克于1960-1967年与迪尔德内( Dieudonn)合作完成。 写了EGA之后，格罗滕迪克和他的合作者们又马不停蹄，继续写SGA的其他八卷系列代数几何专著。 这样，通过这两本书总篇幅达7500页的执笔，格罗登迪克在20世纪60年代末终于将经典的代数簇理论推广到了适用面更广的概型理论中，为整个代数几何奠定了坚实的逻辑基础，并彻底改写了代数几何。

格罗滕迪克概化理论将代数几何建立成一个几何、代数、数论与分析高度统一的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。 举例来说，概念非常有用，例如，严格的“一般点”、“基础变换”和“幂零元”)等概念，并且通过精细抽象代数的方法例如，可以定义广义的“纤维丛”，即型层、“除子”和“微分”，可以有层上同构理论(包括Serre对偶定理等)，建立严格的代数簇分类理论和黎曼-罗赫定理例如，可以构筑型空间的严密理论，特别是可以应用于数论的“算术代数几何”理论等。

后来的历史发展证明，在古典代数几何的逻辑基础问题得到彻底解决后，代数几何很快取得了重大进展，促进了20世纪后半叶现代数学的大发展。 列举一些现代数学中代数几何的进步所取得的巨大成就。 分别证明了狄利内( Deligne )在数论中的路猜想，广中平祐解决了任意维代数簇的奇点解问题，芒福德( Mumford )建立了一般型空间的理论，faltings )建立了数论中的模型)猜想森重文不仅完成了三维代数簇分类，而且随着这些重大问题的解决过程，同时也出现了许多全新的数学研究领域，其中尤其令人意想不到的是概化理论对数学物理研究的巨大推动作用，而量子场论中出现的许多新思想则相反，代数簇的拓扑结构

格罗滕迪克常说：“关于数学是什么，有一种类似高屋建瓮的看法。” 数学家巴斯( Bass )评价说格罗登迪克用“宇宙般的普遍性”的观点改变了数学整体的全貌。 代数几何可以仅仅看作是一门“用多项式研究几何，用几何的思维方式研究多项式”的学科。 特别是从代数几何中出现的代数与几何相互作用的方式具有普遍的意义，目前这种观点几乎渗透到了所有现代数学的各个主要领域。