走向抽象——伽罗瓦理论

【最古老的数学题】

在数学历史上，最古老最自然的问题之一是求解一元多项式的根。 二次多项式的根很容易写。 我们每个人在中学都看过那个系数的根式。 二次多项式的解可以追溯到古巴比伦时期，三次和四次多项式的情况直到16世纪才得到解决。 求解五阶以上多项式非常复杂，几百年来无数人试图解决它，但所得结果均被证明是错误的。 当时，这个问题看起来离得很远，连高斯都不相信它能解决。 所以，当他收到阿贝尔声称五次多项式解不开的信时，就把它扔了，留下了这又是怪物的评论。

阿贝尔的工作揭示了高次方程和低次方程的根本区别，寻找一般系数根式解的努力成为了幻影。 但仍然存在用根式求解的特殊高次多项式，如何区分可解多项式和不可解多项式仍然是一个未解决的问题。 直到伽罗瓦的出现，给出了这个问题的完整答案，彻底解决了这个具有几千年历史的难题。

但是伽罗瓦的贡献远远超过了这个问题本身，他为解决它而开发的方法比问题本身重要得多。 历史上曾经盛行的许多理论和思想，渐渐被历史的尘埃所淹没和遗忘，但大浪淘沙留下的却历久弥新，直到今天仍历历在目。 现在被称为伽罗瓦理论的方法是数学发展的里程碑，其意义和影响将在此后的历史进程中深化，引领我们走向最深处。

【不安的数学天才】

伽罗瓦1811年出生于法国，数学才能出现得很早，也有令人不安的性格。 传说他在大学入学面试时把黑板擦扔给了考官，因为他无法忍受对方理解得太慢。 他在政治上也很活跃，被赶出学校，被捕入狱。

伽罗瓦18岁时，发现了后来以他命名的理论，解决了多项式能否求解的问题，但他的论文过于超前，不被当时的人们所理解，拒绝发表。 他20岁时死于与情敌决斗的传言。 决斗前夕，他似乎预感到了自己的死亡。 因此，他写了他的数学思想并寄给朋友，这些思想在他死后几十年逐渐被人们吸收。

【抽象代数】

他的工作引入了现代数学中极其重要的群和域的概念，这是抽象代数的萌芽。 伽罗瓦的革命性在于，洞察了完全决定解中是否存在根式的多项式解的对称性可以通过多项式自身观察到。 为了说明对称性，他引入了群的想法。 这一基本思想将我们的思维导向更高的维度，为复杂、模糊、转瞬即逝的现象提供永恒的背影，给我们一种一旦抓住就不会忘记的洞察力。

从现代的观点来看，域是我们可以加减乘除的代数对象，多项式的解给出了域。 研究多项式的解可以看作是研究特别对应的域。 这个抽象化引入了我们熟知的有理数的加减乘除相关的直觉，但是表面上是比多项式的解更复杂的对象，无法想象不解多项式就如何研究对应的域本身。

伽罗瓦的天才在于进行更深刻的抽象。 考虑从域到其自身的所有加法和乘法映射。 这个抽象化的抽象看起来像空中楼阁。 但在这里，伽罗瓦真的很深，看起来像云中天堂的影子。 那就是群的概念。 这个更抽象的对象不是无法理解的怪物，相反，它具有最高的结构，最完美的对称性，那就是群，叫做伽罗瓦群。 如果把它放在群论的框架下，我们很快就得到了对其结构的洞察。 它作为一个群，完美地描述了多项式解的对称性。 一个多项式可解如果其伽罗瓦群具有非常特殊的群论性质，则称为可解群。

伽罗瓦理论的奇迹之一是，尽管多项式的解通常无法计算，但从解经过抽象再抽象的伽罗瓦群确实可以直接从多项式计算，原则上可以判定给定的多项式能否求解。 多层抽象并没有把我们带到空中，反而把我们引向地面。 这种抽象的思维方式对现代数学有着深刻的影响，代数方法的核心哲学就是寻找一个合适的体系框架来描述对象最深层的本质含义，从而在表面上搭建起连接不同对象的桥梁，不同领域的直觉可以相互借鉴这种抽象方法经过几代最优秀的学者，特别是格罗滕迪克的发展在今天变得壮观，解决了一些最困难的问题，指明了最深刻的方向，渗透到许多不同的领域。 从某种意义上说，伽罗瓦最伟大的遗产在于提供了根本的新视角。

【影响很大】

伽罗瓦思想对现代数学的影响非常大，仅仅引入群的概念就足以载入史册，但其影响还远不止如此。 其对称性的强调将群论推向了数学舞台的中心。 今天的数学和物理再也不能想象没有群论的日子。 例如，规范场论就是用一个叫做李群的特殊群来表达物理对称性。

神秘的联系之一是伽罗瓦理论和拓扑学的关系。 伽罗瓦群和拓扑中的基本群具有惊人的相似性。 格罗滕迪克的etale基本群理论给出了初步的统一框架，为了更好地理解它们的拓扑本质，格罗滕迪克今天仍然提出了神秘的Motive理论。 伽罗瓦理论在这里可以看作是零维的特殊情况。 另一个不同的角度是伽罗瓦群即基本群完全决定了特殊的几何对象。 这是格罗滕迪克提出的anabelian理论，是近年来望月新一提出的新理论，主张证明abc猜想是这个方向的工作。 算术与拓扑融合是现代数学中一种非常深刻而神秘的现象，伽罗瓦群在其中起着中枢作用。

算术尤其是代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，它与表示论的融合是另一个现代数学宏伟建筑朗兹纲领的梦想，它与上述Motive理论有机结合，共同构成了现代数学几何学领域宏伟的纲领蓝图。

这是伽罗瓦理论现代进化的一部分，可能是最令人兴奋的部分。 从某种意义上说，数学中最深刻和最迷人的部分是永恒的生命力，不断深化的理解和不懈的追求不是引领我们走向狭窄的终点，而是更广阔的天地。