抽象代数关系定义，抽象代数与拓扑学

抽象代数体系

现代数学以集合论为基础，一切都可以用集合来描述。 集合是我们记述一切的出发点。

集合是由几个特定对象构成的整体，定义集合是为了区别于其他的，是为了突出我们关注的研究对象。 中经常使用大写字母来表示集合。 集合中的对象称为集合的元素，通常用小写字母表示，如下所示： 调查实数时，使用由表示整体的实数构成的集合。 其中的任意元素，即一个实数，记住如下。

人们常说整体等于部分之和。 用集合来表示的话，部分其实是由集合中的部分要素构成的小集合，被称为集合的部分集合。 2个集合的要素聚集在一起构成更大的集合，将这样的运算称为并集，将得到的结果称为这些集合的并集。 例如，总实数是有理数和无理数的并集。 有理数一般会记住，但无理数没有一般的符号。 但是，我们可以意识到并记住无理数是整个实数中非有理数的部分。 这就是差集的概念。 请注意，在一般差集中，负号前面的集合不需要包含负号后面的集合。

要研究两个集合的关联性，首先要考虑它们的共同部分是什么。 这一部分称为两个集合的交点。

集合之间最有创造性的运算，无疑是笛卡尔乘积，就像上帝来的笔一样。 有笛卡儿积的话，映射可以看作笛卡儿积的子集。 两个集合的笛卡儿积定义如下

也就是说，从两个集合中各取一个要素构成有序对，就得到笛卡儿积中的要素。 这里要注意元素对是有序的。

测绘和关系是刻画世界运行变化和事物相互关系的最重要的一环。 从一个集合到另一个集合的映射指向某个规则，对于第一个集合内的任何要素，该规则唯一地决定了第二个集合内的某个要素是对应的。 该对应的要素称为前一个要素在映射下的像。 如果第二个集合是数的集合，我们通常把这个映射称为函数，后面的相应元素称为函数下面的值。 建立保持集合特定性质的映射是抽象代数中最重要的方法。 关系是指使天生具有特定关联的对象群体独立。 这表示一个集合中所有对象之间的关系，而不是单个对象之间的关系。 具体来说，某个集合上的二元关系是其集合和自己笛卡儿积的非空子集合。 该子集中的元素有序对称为具有此关系，其他元素有序对不具有此关系。 常用关系与偏序关系有等价关系。 顺序关系，说明顺序的等价关系，表示某种意义上的等价。

定义集合是为了区分事物，但如果事物之间只有区别，没有同等，那么把握和理解也是非常困难的。 我们思考、理解、依靠的，正是“事物之间的同一性”。 所以，集合从外面看，是“异”，从里面看，是“同”。

集体思维非常重要，很多东西用集合来看更有逻辑。 集合思维的代表之一是集合的相等定义。 两个集合相等，就是说这两个集合中的要素完全相同。 但是，这种定义方式没有可操作性，因此很难理解。 你怎么解释两个集合中的要素完全一样？ 实际上做的时候，集合相等是指你是我的部分，我是你的部分。 而你在我的部分，任意取你里面的一个要素，经过一系列的推理，得到这个要素也在我里面； 反之亦然。

代数运算是代数的核心。 有了集合，理解代数运算就很简单了。 二元运算实际上是我们的加法，乘法的抽象化是集合的笛卡儿积在这个集合本身上的映射。 具体地说，从这个集合中取一个要素，接着再取另一个要素，通过运算规则可以在这个集合中找到唯一的确定要素。 请注意，前两个元素是有序的。 先拿，再拿，得到的像和先拿，再拿，得到的像可能不一样。

理解代数运算时，最好把集合中的元素看成是对某个对象的某种操作，如镜面反射、平移、旋转。 代数运算是这些操作的复合，也就是先进行这个操作，再进行那个操作，得到的代数运算的结果就是从点到终点的操作。

考虑使用操作的复合进行代数运算时，自然可以考虑具有结合律的代数运算。 耦合律是指依次取三个要素，在前两个中先进行运算得到的结果，与在第三个要素中进行运算、在第一个要素和以下两个要素中进行运算得到的结果相同。 必须注意的是，在这两个过程中不能改变三个要素的顺序位置。

一个集合和上面的一个或多个代数运算可以称为代数系统。 二元运算具有结合律的代数系统叫半群。 恒等操作，也就是什么都不做的操作，具有与任何操作交换的特性。 那个抽象的东西是什么？ 含幺元半群称为幺半群。 大于1的正整数整体乘子构成无酉半群，正整数整体乘子构成半群。

至此，我们为研究后续代数系统——群、环、域的集合论奠定了基础。