点与空间（续三）

话题： #科学# #数学# #点集拓扑#

小石头/篇

根据生活经验，苹果可以吃完。 吃苹果的时候，每口咬一部分苹果，用a表示苹果，用表示全体的嘴，那么“吃完”就是：

罩a，即UA； 每口，吃的是口腔内的容纳，不包括口腔壁，即口腔边界，所以每口一个开集，即

由开集组成，即将这种复盖称为开复盖。

另外，“吃完”有时间限制，不能无限期地继续吃。 也就是说，

有限，也就是说，至此，“A被吃掉”的确切含义是存在A的有限覆盖。

我们不能保证。 每口咬一个苹果，不吃苹果旁边的空气，也就是说：

对于任意e，不能保证ea；

所以，上面不是UA，而是UA。

看到这里，喜欢举起来的朋友，一定会说：

也没有要求。 每一口都必须吃苹果。 你可以只吃空气哦。 就这样，吃苹果的时候，好几次只吃空气，变得无限了。

没错！ 但是，这样得到的是无限的，如果删除这些无效的口，剩下的仍然是有限的。 也就是说，

对于a的任何覆盖，都存在有限的覆盖a； 这个性质被称为紧凑。

考虑紧致拓扑空间x中的任意无限点集a，假设x的各点x有开邻域b，只包含a的有限的多个点，则由这些b构成的集合包含x的各点，所以是x的一个开盖

但是，的任意有限子集只能复盖a的有限多个点，从而不能复盖所有的a，当然也不能复盖x，所以x并不紧，很矛盾！ 所以：

x中一定包含一个点x，其每个邻域b中包含a的无限多个点。 ( )

考虑x的任意序列{an}； {an}为有限点集时，必定存在点a，对于任意的n，存在i N，使得a=a。 于是，{a，a， }是{an}的子列，{a，a， }的极限是a；

如果{an}是无限点集，根据，在任意的开附近都存在包含{an}的无限多个点的点a。 此时，如果x是第一可数的话，根据续集的知识，可以构筑a的开傍塔，uuu . 由于都是包含{an}的无限多的点，因此，通过从各u找到一个an并设为nn，得到{an}个子序列{an}，其极限为a；

总结以上内容，

x的任何序列都存在收敛的子序列； 这个性质被称为列紧性。

上面的分析说明：

紧致第一可数拓扑空间必列； 然而，相反，紧的第一可数相位空间并不一定是紧凑的。 为此，尝试将第一可数相位空间升级为测量空间。

在测量空间中，考虑用半径相同的螺丝刀将其复盖，该复盖称为网。 对于球半径为的网，只要决定各球心的位置即可，所以整个球心点称为-网。 即，

对于位于测量空间x中的点集a，存在0，且如果UXab(x，) x，则a将被称为-网； 对于某个，如果x中不存在有限的-网，

可以选择x中的任意点{x}。 {x}不是-网，可以选择任意xx(b ) x，)组成{x，x}，明显有b(x，x )； 因为{x，x}不是-网，所以可以任意选择xx((b ) x，) b ) x，)，构成{x，x}，满足b ) x )，1uv3；这样，得到了{x，x，x， }的某一项的距离大于，不存在收敛子序列的数组，x不在序列中。 也就是说：

在度量空间中，如果不存在某个有限的-网，它一定是不排队的； 其反命题如下

如果度量空间紧，则存在有限的-网；

另一方面，

列紧度量空间x上的连续函数f: X 必然有界且存在最大最小值

理由如下。

通过在x中找到数组{xn}，

limnf(xn )=sup f(X ) x ) )

由于x紧密排列，因此{xn}中存在收敛的子序列{xn}，也可以设定。

n，xna；

而且f是连续的，

xna，f(xn )f ( a )；

而且，

limnf(xn )=f ( a ) ) )

根据测量空间中极限的唯一性，最终得到，

supf(x )=f ) a )

也就是说，f(a )是f的最大值，f有上限。

同样，f有下界和最小值。

可以为度量空间x的任何开头构建以下函数：

f(x )=sup(d ) x，e )|e ( ) )

这里，两个集合a和b间距离是这些所有点彼此的距离的最低值，即，

d(a，b )=INF(d ) a，b )|a(a，b ) b ) )

注：本文中的最小值和最大值必须准确地为下确定界和上确定界，这里是为了便于科普而熟知的概念。

于是d(x，e )是从x出发e所需的最短距离。 当然，这如果不保证x E是没有意义的。 否则，x已经在e之外，距离总是0。 此外，f(x )包含x且为使边界离开x最远的e所需的最小距离，即x被所有e包围，且至少是必要的距离。

y x时，边界离x和y最远的e总是相同的。 此时，假设|f(x(-f ) y )|d ( x，y )，f ) x ) f ) y )的话，

f(x ) f ) y ) d ) x，y ) d ) x，b ) )。

因为这明显与f(x )的最短要求相矛盾，所以无法进行假设，有的

|f(x )-f ) y )d ( x，y )这表示y x，f ) y )f ) x，f ) x )是连续的。 于是，根据以上的结论，当x列很紧时，f(x )中存在最小值l。 也就是说，当0L时，对于各点x，必然存在避免出现x的e。 即b ) x，) e。

此外，在这种情况下，由于存在有限的-网络a，所以对于每个x A，由于存在e而形成b(x，) e，由这些e构成的子集由于a有限而有限，由于a覆盖x也覆盖x。 这样对于任意x的覆盖，我们找到了有限的子覆盖，所以x很紧。

这表明紧密的测量空间很紧凑。 并且，测量空间一定是第一可数相位空间。 因此，紧凑的测量空间一定是并排的。 这样以来，

测量空间的紧凑化目前只有在测量空间列紧密的情况下才能进行。 写《数学分析》的朋友一定记得，关于实数的连续性，总结了以下7个等价原理。

癸烯性： x、y、xyc，xcy； 上确界性：有上界，必有上确界； 阿基米德性： N，X！ k，( k-1 ) nxkn； 完备性：基本列均为收敛列的闭区间套引理：任意闭区间套！ ( x )、( x ) ) I； 有限复盖引理：闭区间的任何开盖都有有限的子复盖； 极限点引理：每个无穷有界集至少有一个极限点； 显然，紧致的概念来自有限覆盖引理，极限点引理来自以下定理。

闭区间中的任何序列都有在该区间内收敛的子序列； 因此，列记的概念来自极限点引理。

当然，这些等效原理只在中有效，离开后就不一定了。 例如：

有限覆盖引理在中等于，

闭区间紧凑； 在测量空间中

有界闭集紧凑，但在拓扑空间中，由于没有有界概念，所以不成立。 但是，

Hausdorff空间上的集中必然是封闭的； (那么，续三就写在这里！ 关于收紧排队的概念，很抽象，小石子写得尽可能通俗易懂，希望大家理解！ 其实，这部分还有很多知识。 例如，弄细、充分模仿等。 在这里，为了不惊动主客，没有向大家科普。 如果还有机会的话会追加。 ) )