抽象代数群的例子，群论和抽象代数的关系

想象一张正方形的纸平放在桌子上。 我希望你闭上眼睛。 你听到了纸张的转换。 睁开眼睛的时候，这张纸看起来没有变。 很明显，我没有把纸旋转30度。 因为那样的话纸看起来会不一样。

我也没有在线周围翻转。 例如，从一个角到另一边中点的线。 如果我这么做了，纸看起来会不一样。

但是，我能做的就是顺时针或逆时针旋转纸张90度，或者用对角线或水平线和垂直线翻转。

无论以哪个虚线为中心翻转，正方形都不会改变。 可视化变换的一种方便方法是标记正方形的角。

最后的选择是什么都不做。 这叫做恒等变换。 合起来，它们被称为正方形的对称变换。

可以与对称变换组合使用其他对称变换。 例如，以线段BD为中心进行2次反转时，会发生恒等变换，90度逆时针连续旋转4次时，会发生恒等变换。 以垂直线为中心反转，再以水平线为中心反转，具有180度旋转的效果。 一般来说，对称变换的组合产生对称变换。 下表列出了用于合并对称转换的规则。

用e表示恒等变换在该表中，r下标90，180和270年表示逆时针旋转90度，180度和270度，h表示以水平线为中心反转，v表示以垂直线为中心反转，MD以从左上角到右下角的对角线为中心反转要找到a和b的积，首先去a行，然后去b列，找到这些积。 例如，HMD=r。

查看表格时，您可能会注意到以下几点：

作用子有结合律，也就是说，对于任何a、b、c，都有a(BC )=) ab ) c。 对于任意对称变换a和b，ab也是对称变换。 对于任意的a，都有使其具有Ae=eA的元素e。 在各对称转换器a中，有以aa=aa=e的方式始终对应的对称转换器a。 因此，我们说正方形对称变换的集合及其组合形成了一个称为群的数学结构。 正方形一样的二面体，群为d。 这些结构是本文的主题。

定义的一个组ag。 *是具有作用规则*的集合g。 *组合g中满足群公理的任意两个要素，满足以下4个公理。

结合律： ( a ) b ) ) c=a ) ) b ) c )，所有的a、b、CG闭包： a ) BG，对所有的a、BG进行恒等变换)，使得所有的ag都存在一个元素eg，我们通常省略*。

日常生活中的“群”的例子就是魔方的一系列“变换”。 *不一定是可更换的。 也就是说，a*b不一定与b*a相同。 从d表中可以看出，HMD=r，但mdh=r。 *满足交换率的群称为阿贝群。

交换组是组例外，而不是属性。 非交换群的例子是立方体的对称变换。 仅考虑绕轴的旋转：

如果先绕y轴逆时针旋转90度，然后绕z轴逆时针旋转90度，则结果与先绕z轴逆时针旋转90度，然后绕y轴旋转90度不同。

第一行：绕y旋转90度，绕z旋转90度。 第二行：绕z旋转90度，绕y旋转90度。 元素可能是本身的逆元素。 在二进制数的加法运算中考虑由0和1构成的群。 表如下

很明显1是自己的倒数。 这也是交换小组。

小组的更多例子如下：

加法和整数的集合。 乘法和有理数的集合。 多项式x-1=0的解和乘法的集合。

x-1=0的5次单位的根。 以下是一些非集团的例子。

加法自然数的集合不是一个组，因为它是相反的，也就是说没有负数。 包含0的所有有理数和乘法的集合不是一个组。 因为没有有理数q成为0/q=1，所以各要素并不是相反的。 群结构一个群不仅仅是满足四个公理的集合。 一个小组可能有内部结构。 这个结构可能非常复杂。 抽象代数的基本问题之一是确定一个群的内部结构是什么样的。 因为在现实世界中，实际研究的群体比这里给出的简单例子更大、更复杂。

内部结构的基本类型之一是子群。 如果h是g的子集，则g有一个子群h，如下：

对于a，bH，a*bH，b *aH是aH，aH恒等变换是h的一个元素。 当HG时，h是真子群。 只由恒等变换构成的g的子群称为平凡的子群。

组中的n个元素。 每个元素都是通过一个元素的整数次方得到的。 {e，a，a，…，a}。 其中e=a=a称为由a生成的n阶循环群。 考虑以下6阶循环子群{e，a，a，a，a}。 其真子群是{e，a}和{e，a，a}。

一个非交换组可以有交换子组。 考虑我们之前讨论的方二面体群。 该组不是交换，但旋转的子组被交换并循环。

这里举两个组结构的例子吧。

即使组g没有被交换，g的要素集合也有可能与g中的所有要素进行交换。 这个集合称为g的中心。 中心c是g的子群，证明：

恒等变换： eg=ge对于所有的gG，因此eG。 闭包： a，bC。 根据定义，对于所有gG，ag=ga，bg=gb。 因此，由于g=agb=g，ab可以与所有的gG进行交换，所以为abC。 可逆性：如果aC，则对于所有gG，ga=ag； 因此，aa=aa根据结合律有ag=ga，有aa=aa=e，所以ag=ga，所以ac。 现在，假设f是定义域和值域都是g的函数。 由于f的周期为元素aG，f=f对于所有的xG。 的周期集p是g的子群。 证明：

恒等变换：由于x=ex，f(x )=f ) ex )对于所有的xG，因此eP闭包： a，bP。 由于g的所有元素bxG且f=f，所以f=f(abx )。 但是，由于f=f，所以f=f，所以abP。 可逆性：使aP。 那么f=f=f ( ) ) f，所以AP。 已知有限群是有限生成的，循环基群是由单一元素生成的。 g中的各要素可以写成g的子集a的乘积时，a生成g，将其写成g=a。 证明：

设g是有限的。 的各要素是g的其他两个要素的乘积，所以g=g。 每个有限群都是自己生成的，但也可以从真子集生成。 限制条件是a=e，b=e，ba=ab的组G={e，a，b，b，ab，ab}，由于是由a和b生成的，所以g={a，b}。

结束语代数是一门具有深远意义的深奥学科，但也是一门非常好学的学科。 除了几次提到线性代数外，我在这里讨论的内容大部分对只有高中代数知识的人来说都很容易理解。