从伽罗瓦、戴德金、诺特看抽象代数200年发展史

抽象代数是研究各种抽象公理化代数系统的数学学科。 是现代数学理论的三大支柱之一，抽象代数学对所有现代数学和一些其他科学领域有重要影响。 并且随着各分支理论在数学中的发展和应用需求而不断发展。

今天我们来谈谈抽象代数的发展史。

伽罗瓦理论——抽象代数的诞生伽罗瓦出生于1811年，16岁时接触了数学。 一年来，他自学了法国著名数学家勒让德的《几何原理》，那么拉克那日的《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》、《纯粹与应用数学杂志》，也习惯了欧拉

电影作品的伽罗瓦

此后，他多次向科学院投稿，但柯西忽略了他的论文，傅立叶收到论文后发飙，泊松直接不明。

遭受三次挫折的伽罗瓦投身政治，抗议国王的专制统治，因“暗杀国王罪”不幸被捕狱中，更不幸在监狱感染了霍乱。

电影中的伽罗瓦形象

刚出狱的伽罗瓦试图发表自己的数学成果，又被陷害再次入狱。

这时，他在监狱里爱上了一个烟花女人。 不巧的是，这个烟花女人的情敌还是军官，伽罗瓦答应为了恋人和情敌比枪。 请参阅。 请参阅。

伽罗瓦肖像

1832年5月30日晚上，第二天去决斗的伽罗瓦知道必死无疑。 他试图记录自己短暂一生的研究成果，但在遗稿的空白处写着“我没有时间。 没有时间。 请参阅。 ”。 请参阅。

伽罗瓦抄本

第二天，伽罗瓦在决斗中被军官直接打穿了肠子。 他的朋友Chevalier遵从伽罗瓦的遗志，把他的数学遗稿寄给高斯和雅可比，但都是石头沉入大海。

10年后，法国著名数学家刘维尔看了伽罗瓦的手稿，经过严密的计算，最终肯定了伽罗瓦结果的正确性、独创性和深刻性。 他花了很长时间讲解，1846年最后发表在影响力《整环的理想理论》上，向数学界推荐。

刘维尔

由此，伽罗瓦这份手稿中的“伽罗瓦群理论”在数学界大放异彩。 伽罗瓦群理论中最华丽的部分是天才地提出了“群论”的概念。

伽罗瓦抄本

伽罗瓦理论原是用来区分可解五次方程的多项式和不可解多项式的，它的革命性是洞察到多项式解的对称性可以在不求解的情况下由多项式本身观察到，这种对称性本身完全决定了该解是否存在根式。 所以为了说明对称性，他引入了群的想法。

一般来说，组是指满足封闭结合律成立的单位元中存在逆元这四个条件的要素的集合。

伽罗瓦群理论一般解决了高于四阶代数方程能否用根式求解的问题，且建立了具体数字代数方程能否用根式求解的判别准则。

利用伽罗瓦群理论，一举解决了两千多年来一直悬而未决的几何学三大难题。 这三个难题分别如下。

三等分角问题：将任何给定的角三等分。

立方体加倍问题：求出制作立方体的角锥的长度，使这个立方体的体积是已知立方体体积的2倍。

把圆当角问题：做一个正方形，求其面积等于已知圆的面积。

总而言之，伽罗瓦理论群提出了解决这类问题的系统理论和方法，开辟了全新的研究领域。 摆脱了古典代数用符号代替具体数学计算的特点。

用结构研究代替计算，从偏重计算研究转变为用结构观念研究，对数学运算进行分类，群论迅速发展成为新的数学分支，伽罗瓦群理论为近代抽象代数奠定了基础。

诺特自从将抽象代数正式定为学科伽罗瓦以来，长期以来人们一直停留在研究具体群，即变换群。 由相互置换方程式根的所有置换组成的置换群，或者由将图形变换为其自身的它们的变换组成的变换群。

而且，能否抽象出各种具体群的共同特征，或者不管群元素的具体特征如何，能否考虑只由抽象元素构成的群，就像古典代数学只考虑用抽象符号代替具体数字满足数的运算规则一样，抽象代数也是抽象的

哈密顿导出了更一般的几个代数，凯利设计了另一个不可交换的代数——矩阵代数。 他们的研究打开了抽象代数(又称近世代数)的大门。

克罗内克给出了有限阿贝群的抽象定义； 德金开始使用“体”这个表达，研究代数体； 1893年，韦伯斯特定义了抽象的身体； 1910年，施塔尼茨展开了身体的一般抽象理论； 德金和罗内克创立了环论； 1910年，施塔尼茨综述了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究。

戴德金对结有很大的影响

他们基本上完成了抽象群理论的构建，但没有形成完整的理论体系，要想使抽象代数真正发展成为学科，必须得节点。 诺特是历史上最伟大的女数学家，她靠自己的力量建立了完整的实数理论体系。

1920年，她已将“左型”、“右型”概念引入抽象代数体系。 1921年笔记写的《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》是抽象代数发展的里程碑。 埃米特引入了抽象的理想概念。 她通过对具体环实例的考察，抽象出其共同特征，研究其中最重要的环，即每个理想满足链上升条件。 之后，这个环被称为节点环。

诺特利用这个公理定义的环推广了多项式环的准素分解定理。 也就是说，任何理想都是准素理想之交。 她不仅传播了以前的结果，更重要的是抽象公理方法第一次取得了伟大的胜利。

交换环论也必须对代数数论的结果作出自己的回答。 埃米特在1925年用5个公理刻划了含有代数整数环的环。 她叫五个公理环，后来又叫戴金环。 她证明了对于这种抽象的环，德金证明的理想唯一分解为素理想之积的定理也是成立的。

1926年笔记发表了0755-79000，这篇文章标志着抽象代数这门学科的真正创立。

抽象代数

诺特通过给出德金环的公理刻画，指出了素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。 诺特的这一理论也就是现代数学中“环”与“理想”的系统理论。

从该代数学的研究对象出发，研究了代数方程根的计算和分布，研究了数字、文字和更一般因素的代数运算规律和各种代数结构，完成了经典代数到抽象代数的本质转换。

简单地说，诺特从不同领域的相似现象出发，将不同对象抽象化、公理化，采用统一的方法处理，从根本上改变了环、域、代数的理论，构建了完整的抽象代数理论体系。

后代在诺特开垦的这个新庄园里不断培育新果实。

概括抽象代数的影响和作用，抽象代数是研究各种抽象公理化代数系统的数学学科。 由于代数可以处理实数和复数之外的物集合，如向量、矩阵超数、变换等，这些物集合都有各自的运算规律，但数学家通过抽象方法将各个运算共享的内容升华，从而达到更高的层次，抽象代数应运而生

现代数学时期是指从20世纪40年代到现在。 这一时期的数学主要研究最一般的数量关系和空间形式，数量和数量只是其极其特殊的情况，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也只是特殊情况。

抽象代数、拓扑学、泛函分析构建了整个现代数学科学的主体部分。 抽象代数不仅是现代数学的重要基础，而且在计算机、信息、通信、物理、化学等领域有着广泛的应用。

诺特之后，1930年，比尔霍夫确立了源于1847年布尔代数的格论。二战后，出现了各种代数系统的理论，布尔巴基学派也出现了。1955年，嘉当、格罗辛迪克、埃伦伯克创立了同调代数理论。 到目前为止，数学家们已经研究了200多种这种代数结构，其中最主要的是假设凡尔登和李代数不符合结合律的代数例子。 这些工作大部分是20世纪的，它们把一般化和抽象的思想充分反映在现代数学中。

布尔巴基学派

抽象代数的产生过程中出现了伽罗瓦、德金、施塔尼茨、嘉当等众多数学家，产生了群论、环论、格论等多种数学理论，并与数学的其他分支相结合，产生了代数几何、代数论、代数拓扑、拓扑学等新的数学系抽象代数已成为现代大多数数学的通用语言。